【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,D為⊙O上一點(diǎn),OD⊥AC,垂足為E,連接BD.
(1)求證:BD平分∠ABC;
(2) 當(dāng)∠ODB=30°時(shí),求證:BC=OD.
【答案】證明見解析
【解析】
試題(1)由OD⊥AC OD為半徑,根據(jù)垂徑定理,即可得,又由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,即可證得BD平分∠ABC;
(2)首先由OB=OD,易求得∠AOD的度數(shù),又由OD⊥AC于E,可求得∠A的度數(shù),然后由AB是⊙O的直徑,根據(jù)圓周角定理,可得∠ACB=90°,繼而可證得BC=OD.
試題解析:(1)∵OD⊥AC OD為半徑,∴,∴∠CBD=∠ABD,
∴BD平分∠ABC;
(2)∵OB=OD,∴∠OBD=∠0DB=30°,∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°,
又∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°,
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°,
又∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,BC=AB,
∵OD=AB,
∴BC=OD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某部隊(duì)將在指定山區(qū)進(jìn)行軍事演習(xí),為了使道路便于部隊(duì)重型車輛通過,部隊(duì)工兵連接到搶修一段長(zhǎng)3600米道路的任務(wù),按原計(jì)劃完成總?cè)蝿?wù)的后,為了讓道路盡快投入使用,工兵連將工作效率提高了50%,一共用了10小時(shí)完成任務(wù).
(1)按原計(jì)劃完成總?cè)蝿?wù)的時(shí),已搶修道路 米;
(2)求原計(jì)劃每小時(shí)搶修道路多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上,同時(shí),拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上,那么,我們稱拋物線C1與拋物線C2互相依存.
(1)已知拋物線①:y=﹣2x2+4x+3與拋物線②:y=2x2+4x﹣1,請(qǐng)判斷拋物線①與拋物線②是否互相依存,并說明理由.
(2)將拋物線C1:y=﹣2x2+4x+3沿x軸翻折,再向右平移m(m>0)個(gè)單位,得到拋物線C2,若拋物線C1與C2互相依存,求m的值.
(3)試問:如果對(duì)稱軸不同的兩條拋物線(二次函數(shù)圖象)互相依存,那么它們的函數(shù)表達(dá)式中的二次項(xiàng)系數(shù)之間有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),且OC=OB,tan∠OAC=4.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,直線AD下方的拋物線上有一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H,作PM平行于y軸交直線AD于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)E,求△PHM的周長(zhǎng)的最大值.
(3)在(2)的條件下,如圖2,在直線EP的右側(cè)、x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G,使得以點(diǎn)E、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo):如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問題發(fā)現(xiàn):
(1)如圖①,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是AB上點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、B重合),將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得射線與BC交于點(diǎn)F,則四邊形OEBF的面積為 .
問題探究:
(2)如圖②,線段BQ=10,C為BQ上點(diǎn),在BQ上方作四邊形ABCD,使∠ABC=∠ADC=90°,且AD=CD,連接DQ,求DQ的最小值;
問題解決:
(3)“綠水青山就是金山銀山”,某市在生態(tài)治理活動(dòng)中新建了一處南山植物園,圖③為南山植物園花卉展示區(qū)的部分平面示意圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=CD,AC=600米.其中AB、BD、BC為觀賞小路,設(shè)計(jì)人員考慮到為分散人流和便觀賞,提出三條小路的長(zhǎng)度和要取得最大,試求AB+BD+BC的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠A=50°,BD,CE是∠ABC,∠ACB的平分線,則∠BOC的度數(shù)為( 。
A.105°B.115°C.125°D.135°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小美周末去公園玩,發(fā)現(xiàn)公園一角有一種“守株待兔”的游戲,該游戲老板說明游戲規(guī)則如下:提供一只兔子和一個(gè)有A、B、C、D、E五個(gè)出口的兔籠,而且籠內(nèi)的兔子從每個(gè)出口走出兔籠的機(jī)會(huì)是均等的,玩家只能將兔子從A、B兩個(gè)出入口放兔子,如果兔子進(jìn)籠子后從開始進(jìn)入的入口出來(lái),則玩家可獲得價(jià)值5元的小兔玩具一只,否則,應(yīng)付3元的參與費(fèi)用.
(1)用作表或樹狀圖列出小美參與游戲的所有可能結(jié)果,并求出小美得到玩具兔子的概率.
(2)假設(shè)有100人玩這個(gè)游戲,估計(jì)老板約賺多少錢.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分如圖所示.已知它的頂點(diǎn)M在第二象限,且經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,l).若此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.
(1)試求a,b所滿足的關(guān)系式;
(2)當(dāng)△AMC的面積為△ABC面積的倍時(shí),求a的值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得△ABC為直角三角形.若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接.
(1)求證:;
(2)當(dāng),時(shí),請(qǐng)判斷四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論.
(3)當(dāng)四邊形是正方形時(shí),請(qǐng)判斷的形狀,并證明你的結(jié)論.
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