Question

【題目】已知拋物線y= x2+1（如圖所示）．

（1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ， ），對稱軸是；
（2）已知y軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）0；1；x=0（或y軸）
（2）

解：∵△PAB是等邊三角形，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=20A=4．

∴PB=4．

解法一：把y=4代入y= x2+1，

得 x=±2 ．

∴P1（2 ，4），P2（﹣2 ，4）．

解法二：∴OB= =2

∴P1（2 ，4）．

根據(jù)拋物線的對稱性，得P2（﹣2 ，4）

（3）

解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2 ，4）

∴設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b

∴

解得：

∴解析式為：y= x+2

設(shè)存在點(diǎn)N使得OAMN是菱形，

∵點(diǎn)M在直線AP上，

∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m， m+2）

如圖，作MQ⊥y軸于點(diǎn)Q，則MQ=m，AQ=OQ﹣OA= m+2﹣2= m

∵四邊形OAMN為菱形，

∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，

即：m2+（ m）2=22

解得：m=±

代入直線AP的解析式求得y=3或1，

當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的右支上時，分為兩種情況：

當(dāng)N在右圖1位置時，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，3），

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，1），即N1坐標(biāo)為（ ，1）．

當(dāng)N在右圖2位置時，

∵M(jìn)N=OA=2，M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，1），

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，﹣1），即N2坐標(biāo)為（﹣ ，﹣1）．

當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的左支上時，分為兩種情況：

第一種是當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上時（PA內(nèi)部）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，1）；

第二種是當(dāng)M點(diǎn)在PA的延長線上時（在第一象限）我們求出N點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，﹣1）

∴存在N1（ ，1），N2（﹣ ，﹣1）N3（﹣ ，1），N4（ ，﹣1）使得四邊形OAMN是菱形

【解析】解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對稱軸是y軸（或x=O）．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．