Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為cm，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F，使得AE=CF，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．（1）則∠APB=______度；（2）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為________cm.

Answer 1

【答案】120

【解析】

（1）證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；

（2）由∠APB＝120°可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是一段弧，根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝120°，過圓心O做OG⊥AB，由AB＝可得OA＝1，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，

又∵AE＝CF，

在△ABE和△CAF中，，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴∠ABE＝∠CAF，

又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP＋∠BAP，

∴∠APE＝∠BAP＋∠CAF＝60°，

∴∠APB＝180°∠APE＝120°；

（2）由∠APB＝120°可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是一段弧，如圖，

∵∠APB＝120°，

所以劣弧AB所對(duì)的圓周角為60°，

∴∠AOB＝120°，

過圓心O做OG⊥AB，則∠AOG=30°，

又∵AB＝，

∴AG＝，

∴OA＝，

∴動(dòng)點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng)l＝．

故答案為：（1）120；（2）.