Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=6，DC=4，求AD的長(zhǎng)．小明同學(xué)利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問(wèn)題：

（1）分別以AB，AC所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出△ABD和△ACD的對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F，延長(zhǎng)EB和FC相交于點(diǎn)G，求證：四邊形AEGF是正方形；

（2）設(shè)AD=x，建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）12．

【解析】

（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90；再根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到AE＝AF，從而說(shuō)明四邊形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型（x6）2＋（x4）2＝102，求出AD＝x＝12．

（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45，

∴∠EAF=90．

又∵AD⊥BC，

∴∠E=∠ADB=90，∠F=∠ADC=90，

∴四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD，

∴AE=AF，

∴矩形AEGF是正方形；

（2）解：設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x．

∵BD=6，DC=4，

∴BE=6，CF=4，

∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，

在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，

∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．

化簡(jiǎn)得：x2﹣10x﹣24=0

解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）

所以AD=x=12．