Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點對稱軸是直線．

（1）求拋物線的解析式及點的坐標；

（2）連接是線段上一點，點關(guān)于直線的對稱點正好落在上，求點的坐標；

（3）動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向點運動，到達點即停止運動.過點作軸的垂線交拋物線于點交線段于點．設運動時間為秒．

①連接，若與相似，請直接寫出的值；

②能否為等腰三角形．若能，求出的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①t=1；②能；秒或秒

【解析】

（1）點A、B關(guān)于直線x=-1對稱，AB=4，由對稱性質(zhì)知A（-3，0），B（1，0），將A,B兩點坐標代入解析式組成方程組求解即可；
（2）先求出AC直線解析式，再將點F的坐標代入直線AC的表達式，即可求解；
（3）①當△BOC與△AMN相似，＝3或，即=3或，即可求解；②分AO=AQ、QO=AQ、AO=OQ三種情況，分別求解即可．

解:點關(guān)于直線對稱，

代入中，得:

解得

拋物線的解析式為

點坐標為；

如圖，連接

設直線的解析式為

則有:

解得

直線的解析式為

點關(guān)于直線對稱，

又點到對稱軸的距離為，

點的橫坐標為

將代入中，

得:

；

（3）①t秒時，點M的坐標為（-2t，0），則點Q（-2t，2t-3），
點N[-2t，（-2t）2+2×（-2t）-3]，即（-2t，4t2-4t-3），
則MN=-4t2+4t+3，AM=3-2t，

∵△BOC與△AMN相似，
∴＝3或

即=3或，
解得：t=或1或-（舍去和-），
故t=1；

軸，

若為等腰三角形，分三種情況討論，

第一種情況，當時，

可由定理證得

中，，

易得

第二種情況，當時，

在中，

即

第三種情況，當時，點重合，

此時

而故不符合題意，

綜上所述，當秒或秒時，為等腰三角形.