Question

【題目】已知:是的內(nèi)接三角形,且,直徑交于點(diǎn).

如圖1 ,求證：；

如圖2,將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段,旋轉(zhuǎn)角為連接分別交,于點(diǎn),連接,求證: ；

如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)時(shí),交于點(diǎn)若求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析；見(jiàn)解析；6

【解析】

（1）如圖 1，連接OB，OC，首先證明AO是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)和一的性質(zhì)即可證明；

（2）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，又因?yàn)?/span>，從而得到，即可推出，再根據(jù)，即可推出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接先證明，再證明四邊形是矩形，推出，，在中，

，求出，在中，求出，在中， ，最后證明是等邊三角形，即可求出OA的長(zhǎng)度.

（1）如圖 1，連接OB，OC，

，

點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，

同理點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，

直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，

；

如圖 2

∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴；

如圖 3，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接

，

，

又，

∴，

，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

，

∴，

，

，

，

，

，

即，

，

∴，

在中，

∵，

，

，

∴，

在中，，

在中， ，

，

∴是等邊三角形，

，

.