【題目】如圖所示,已知拋物線y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)y=kx+b的圖象相交于A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上不與A,B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)請直接寫出a,k,b的值及關(guān)于x的不等式ax2<kx﹣2的解集;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí),請求出△PAB面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)是否存在以P,Q,A,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)a=﹣1,k=﹣1,b=﹣2,x<﹣1或x>2;(2)△PAB面積的最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,);(3)P的坐標(biāo)為(﹣3,﹣9)或(3,﹣9)或(1,﹣1),Q的坐標(biāo)為:Q(0,﹣12)或(0,﹣6)或(0,﹣4).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可求得a,k,b的值,根據(jù)圖象即可得出不等式的解集;(2)過點(diǎn)A作y軸的平行線,過點(diǎn)B作x軸的平行線,兩者交于點(diǎn)C,連接PC.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣m2.過點(diǎn)P作PD⊥AC于D,作PE⊥BC于E.則D(﹣1,﹣m2),E(m,﹣4),由此可得PD=m+1,PE=﹣m2+4.再根據(jù)S△APB=S△APC+S△BPC﹣S△ABC,代入數(shù)據(jù)即可得S△APB與m的二次函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)求最值的方法求得m的值及S△APB 的值最大.再求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可;(3)(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可.
解:(1)把A(﹣1,﹣1),代入y=ax2中,可得:a=﹣1,
把A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)代入y=kx+b中,可得:,
解得:,
所以a=﹣1,k=﹣1,b=﹣2,
關(guān)于x的不等式ax2<kx﹣2的解集是x<﹣1或x>2,
(2)過點(diǎn)A作y軸的平行線,過點(diǎn)B作x軸的平行線,兩者交于點(diǎn)C.
∵A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4),
∴C(﹣1,﹣4),AC=BC=3,
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣m2.
過點(diǎn)P作PD⊥AC于D,作PE⊥BC于E.則D(﹣1,﹣m2),E(m,﹣4),
∴PD=m+1,PE=﹣m2+4.
∴S△APB=S△APC+S△BPC﹣S△ABC
=
=
=.
∵<0,,﹣1<m<2,
∴當(dāng)時(shí),S△APB 的值最大.
∴當(dāng)時(shí),,S△APB=,
即△PAB面積的最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)
(3)存在三組符合條件的點(diǎn),
當(dāng)以P,Q,A,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),
∵AP=BQ,AQ=BP,A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4),
可得坐標(biāo)如下:
①P′的橫坐標(biāo)為﹣3,代入二次函數(shù)表達(dá)式,
解得:P'(﹣3,﹣9),Q'(0,﹣12);
②P″的橫坐標(biāo)為3,代入二次函數(shù)表達(dá)式,
解得:P″(3,﹣9),Q″(0,﹣6);
③P的橫坐標(biāo)為1,代入二次函數(shù)表達(dá)式,
解得:P(1,﹣1),Q(0,﹣4).
故:P的坐標(biāo)為(﹣3,﹣9)或(3,﹣9)或(1,﹣1),
Q的坐標(biāo)為:Q(0,﹣12)或(0,﹣6)或(0,﹣4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c,自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如表:
下列說法正確的是( 。
A. 拋物線的開口向下
B. 當(dāng)x>-3時(shí),y隨x的增大而增大
C. 二次函數(shù)的最小值是-2
D. 拋物線的對稱軸是x=-
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【題目】已知拋物線y=x2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)M.
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求∠OAM的正弦值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,作AC⊥x軸于點(diǎn)C.
(1)求k的值;
(2)直線y=ax+b(a≠0)圖象經(jīng)過點(diǎn)A交x軸于點(diǎn)B,且OB=2AC.求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形網(wǎng)格中,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)A的坐標(biāo)(4,4),請解答下列問題:
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1,并寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2,并求出點(diǎn)A到A2的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】截長補(bǔ)短法,是初中幾何題中一種添加輔助線的方法,也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等,補(bǔ)短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起,從而解決問題.
(1)如圖1,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn),∠BDC=120°,探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.
解題思路:延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°,可證∠ABD=∠ACE,易證△ABD≌△ACE,得出△ADE是等邊三角形,所以AD=DE,從而解決問題.
根據(jù)上述解題思路,三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是;(直接寫出結(jié)果)
(2)如圖2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn),∠BDC=90°,探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A(2,0)、B(0,4),點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D.
(1)若.
①求拋物線的解析式;
②當(dāng)線段PD的長度最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí),是否存在這樣的拋物線,使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C是⊙O直徑AB上一點(diǎn),過C作CD⊥AB交⊙O于點(diǎn)D,連接DA,延長BA至點(diǎn)P,連接DP,使∠PDA=∠ADC.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)若AC=3,tan∠PDC=,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是由8個(gè)大小相同的小正方體組合成的簡單幾何體.
(1)該幾何體的主視圖如圖所示,請?jiān)谙旅娣礁窦堉蟹謩e畫出它的左視圖和俯視圖;(邊框線加粗畫出,并涂上陰影)
(2)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體,并保持這個(gè)幾何體的俯視圖和主視圖不變,那么請?jiān)谙铝芯W(wǎng)格圖中畫出添加小正方體后所得幾何體所有可能的左視圖.
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