Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③點(diǎn)P是△ACQ的外心；④APAD＝CQCB．其中正確的是_____（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①錯(cuò)誤，假設(shè)成立，推出矛盾即可；
②正確．想辦法證明∠GPD=∠GDP即可；
③正確．想辦法證明PC=PQ=PA即可；
④正確．證明△APF∽△ABD，可得APAD=AFAB，證明△ACF∽△ABC，可得AC2=AFAB，證明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQCB，由此即可解決問題；

：①錯(cuò)誤，假設(shè)∠BAD=∠ABC，則，
∵，
∴，顯然不可能，故①錯(cuò)誤．
②正確．連接OD．

∵GD是切線，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD，
∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GD=GP，故②正確．
③正確．∵AB⊥CE，
∴ ，
∵，
∴，
∴∠CAD=∠ACE，
∴PC=PA，
∵AB是直徑，
∴∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ=PA，
∵∠ACQ=90°，
∴點(diǎn)P是△ACQ的外心．故③正確．
④正確．連接BD．
∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴，
∴APAD=AFAB，
∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2=AFAB，
∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQCB，
∴APAD=CQCB．故④正確，
故答案為②③④．