【題目】如圖①,AB⊙O的直徑,,連接AC.

(1)求證:∠CAB=45°;

(2)如圖,直線l經(jīng)過點(diǎn)C,在直線l上取一點(diǎn)D,使BD=AB,BDAC相交于點(diǎn)E,連接AD,且AD=AE.

求證:直線l⊙O的切線;

的值.

【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析②

【解析】

(1)連接BC,由知∠CAB=ABC,根據(jù)AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°,據(jù)此可得答案;(2)①連接OC、作DPAB,設(shè)∠ABD=α,先根據(jù)AD=AE、BA=BD求得∠ABD=DAE=30°,據(jù)此知PD=BD=AB,結(jié)合OC=ABDP=OC,據(jù)此證得四邊形DPOC為矩形,繼而得證;②證△ACD∽△BAE,據(jù)此知AE=CD,作EIAB于點(diǎn)I,由∠CAB=45°、ABD=30°BE=2EI=2×AE=AE=2CD,據(jù)此可得答案.

(1)如圖①,連接BC,

∴∠CAB=ABC,

AB為⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

∴∠CAB=CBA=45°;

(2)①如圖②,連接OC、作DPAB于點(diǎn)P,

設(shè)∠ABD=α,

BA=BD,

∴∠BAD=BDA,

AD=AE,

∴∠ADE=AED,

∴∠AED=BAD,

∴∠DAE=DBA=α,

∵∠CAB=45°,

∴∠ADE=AED=CAB+ABD=45°+α,

∵∠DAE+ADE+AED=180°,

α+α+45°+α+45°=180°,

解得:α=30°,即∠ABD=DAE=30°,

RtBPD中,PD=BD=AB,

又∵OC=AB,

OC=PD,

∵△ABC是等腰直角三角形,OA=OB,

COAB,

DPAB、COAB,

∴四邊形DPOC是矩形,

∴∠OCD=90°,

∴直線l是⊙O的切線;

②由①知,∠CAD=ABE=30°,CDAB,

∴∠ACD=EAB=45°,

則△ACD∽△BAE,

AE=CD,

如圖②,作EIAB于點(diǎn)I,

∵∠CAB=45°、ABD=30°,

BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD,

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在等邊AOB中,將扇形COD按圖1擺放,使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合,OA=OB=2,OC=OD=1,固定等邊AOB不動(dòng),讓扇形COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段AC、BD也隨之變化,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α.(0<α≤360°)

(1)當(dāng)OCAB時(shí),旋轉(zhuǎn)角α=   度;

發(fā)現(xiàn):(2)線段ACBD有何數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)僅就圖2給出證明.

應(yīng)用:(3)當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí),求BD的長.

拓展:(4)P是線段AB上任意一點(diǎn),在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過程中,請(qǐng)直接寫出線段PC的最大值與最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,四邊形ABCD中,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),DE=EC,以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點(diǎn)D,點(diǎn)B在⊙O上,連接OB.

(1)求證:DE=OE;

(2)若CDAB,求證:BC是⊙O的切線;

(3)在(2)的條件下,求證:四邊形ABCD是菱形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)yx2x

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出該二次函數(shù)的圖象;

(2)根據(jù)圖象寫出:當(dāng)x   時(shí),y>0;

當(dāng)0<x<4時(shí),y的取值范圍為   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn)(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點(diǎn)A(﹣3,y1)、點(diǎn)B(﹣,y2)、點(diǎn)C(,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<5<x2.其中正確的結(jié)論有( 。

A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,OABC是邊長為1的正方形,OCx軸正半軸的夾角為15°,點(diǎn)B在拋物線y=ax2(a<0)的圖象上,則a的值為( 。

A. B. C. ﹣2 D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,二次函數(shù)yax22ax3aa0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D

1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);

2)若以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C

①求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

②如圖2,點(diǎn)Ey軸負(fù)半軸上一點(diǎn),連接BE,將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到△PMN(點(diǎn)P、MN分別和點(diǎn)OB、E對(duì)應(yīng)),并且點(diǎn)M、N都在拋物線上,作MFx軸于點(diǎn)F,若線段MFBF12,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);

③點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上,以Q為圓心的圓過AB兩點(diǎn),并且和直線CD相切,如圖3,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小梅家的陽臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架如圖1,圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖,A,B兩點(diǎn)立于地面,將曬衣架穩(wěn)固張開,測(cè)得張角AOB=62°,立桿OA=OB=140cm,小梅的連衣裙穿在衣架后的總長度為122cm,問將這件連衣裙垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面?請(qǐng)通過計(jì)算說明理由(參考數(shù)據(jù):sin59°0.86,cos59°0.52,tan59°1.66)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ABO為底角是30°的等腰三角形,OA=AB=4,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)Bx軸上,點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段OP最短時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。

A. (1,1) B. ,3) C. (3, D. (2,2)

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