Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A（-3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負(fù)半軸上，且BD=BC，一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點M為拋物線的對稱軸上一個動點，求點M的坐標(biāo)使MQ+MA的值最�。�
（3）是否存在t值，線段PQ被CD垂直平分？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+4得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）連接BQ交直線x=$\frac{1}{2}$于點M，對稱軸交x軸于E點，如圖1，先利用兩點坐標(biāo)線段最短得到此時MA+MQ的值最小，再利用垂線段最短得到當(dāng)BQ⊥AC時，BQ最短，則MA+MQ最小，然后證明Rt△BME∽Rt△CAO，利用相似比計算出ME，從而可確定M點坐標(biāo)；
（3）連接CP、BC，如圖，由BC=BD得到∠BDC=∠BCD，再由線段PQ被CD垂直平分得到DQ=DP，∠QDC=∠PDC，則∠QDC=∠BCD，所以DQ∥BC，則可證明△ADQ∽△ABC，然后利用相似比計算出DQ，從而得到AP的長，最后利用速度公式計算t的值．

解答 解：（1）將A、B點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+4得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4；
（2）當(dāng)x=0時，y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4=4，則C（0，4），拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$，
連接BQ交直線x=$\frac{1}{2}$于點M，對稱軸交x軸于E點，如圖1，則MA=MB，
∴MA+MQ=MB+MQ=BQ，
此時MA+MQ的值最小，
當(dāng)BQ⊥AC時，BQ最短，則MA+MQ最小，
∵∠QBA+∠QAB=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠QBA，
∴Rt△BME∽Rt△CAO，
∴ME：AO=BE：OC，即ME：3=$\frac{7}{2}$：4，解得ME=$\frac{21}{8}$，
∴M點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）；
（3）存在．
連接CP、BC，如圖，
∴B（-4，0），C（0，4），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵BC=BD=4$\sqrt{2}$
∴∠BDC=∠BCD，AD=AB-BD=7-4$\sqrt{2}$，
∵線段PQ被CD垂直平分，
∴DQ=DP，∠QDC=∠PDC，
∴∠QDC=∠BCD，
∴DQ∥BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴DQ：BC=AD：AB，即DQ：4$\sqrt{2}$=（7-4$\sqrt{2}$）：7，解得DQ=$\frac{28\sqrt{2}-32}{7}$，
∴DP=$\frac{28\sqrt{2}-32}{7}$，
∴AP=AD+DP=7-4$\sqrt{2}$+$\frac{28\sqrt{2}-32}{7}$=$\frac{17}{7}$，
∴t=$\frac{17}{7}$÷1=$\frac{17}{7}$，
即t的值是$\frac{17}{7}$秒．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)；會運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會運用相似比計算線段的長；能利用兩點之間線段最短和垂線段最短解決最短路徑問題．