Question

如圖，已知B（0，4），點A在第一象限，且AB⊥y軸，∠A=30°．
（1）寫出點A的坐標(biāo)；
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點C，使以O(shè)、B、C為頂點的三角形與△ABO全等？若存在求出點C的坐標(biāo)；若不存在請說明理由；
（3）點P從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿射線AO運動，點Q從點O出發(fā)，以1厘米/秒的速度沿y軸正方向運動，點P和點Q同時出發(fā)，設(shè)運動時間是t秒，
①當(dāng)t為何值時，△OPQ是直角三角形？
②當(dāng)t為何值時，△OPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形中的30度角所對的直角邊是斜邊的一半求得AO的長度，然后解直角三角形求AB的長度；
（2）存在三種情況，畫出圖形，根據(jù)A的坐標(biāo)和全等三角形的性質(zhì)求出即可；
（3）①分為兩種情況，當(dāng)∠OPQ=90°和∠OQP=90°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)得出方程，求出方程的解即可；
②分為兩種情況：當(dāng)P在線段AO上和當(dāng)P在AO延長線上，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵B（0，4），
∴OB=4，
∵點A在第一象限，且AB⊥y軸，∠A=30°，
∴AB=

OB

tan30°

=4

3

，
∴A（4

3

，4）；

（2）存在點C，使以O(shè)、B、C為頂點的三角形與△ABO全等，
理由是：分為三種情況：①延長AB到C，使AB=BC，連接OC，如圖1，
則此時△ABO≌△CBO，
此時CB=AB=4

3

，BO=4，
則C的坐標(biāo)是（-4

3

，2）；
②過A作AC⊥x軸于C，連接BC，如圖2，
則此時△ABO≌△COB，
則C的坐標(biāo)是（4

3

，0）；
③在x軸的負半軸上，截取OC=AB，連接CB，如圖3，
則此時△ABO≌△COB，
則C的坐標(biāo)是（-4

3

，0）；
綜合上述：C的坐標(biāo)是（-4

3

，4）或（4

3

，0）或（-4

3

，0）；

（3）當(dāng)∠OPQ=90°時，如圖4，
∵∠AOB=60°，
∴∠OQP=30°，
∴PO=

1

2

OQ，
即8-2t=0.5t，
解得：t=3.2；
當(dāng)∠OQP=90°時，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴PO=2OQ，
即8-2t=2t，
解得：t=2；
即當(dāng)t=3.2或2時，△OPQ是直角三角形；
    
②當(dāng)P在線段AO上時，如圖6，
∵∠QOP=60°，△POQ是等腰三角形，
∴△POQ是等邊三角形，
即OP=OQ，
∴8-2t=t，
解得：t=

8

3

；
當(dāng)P在AO延長線時，如圖7，
只能OQ=OP，
即2t-8=t，
解得：t=8；
∴當(dāng)t=

8

3

或8時，△POQ是等腰三角形．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力，用了分類討論思想，有一定的難度．