Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點(diǎn)F.

(1)探究線段EF與OC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE________是菱形或正方形(填“可能”或“不可能”)．請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足為直角的直角三角形時(shí)，四邊形是正方形；（3）不可能.

【解析】

（1）由直線，交的平分線于點(diǎn)，交的外角平分線于點(diǎn)，易證得與是等腰三角形，則可證得；

（2）正方形的判定問(wèn)題，四邊形若是正方形，則必有對(duì)角線，所以為的中點(diǎn)，四邊形是矩形．在中，當(dāng)時(shí)，則得對(duì)角線互相垂直，可滿(mǎn)足其為正方形；

（3）菱形的判定問(wèn)題，若使菱形，則必有四條邊相等，對(duì)角線互相垂直．

解：（1）．理由如下：

是的角平分線，

，

又，

，

，

，

同理可得：，

；

∴.

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足為直角的直角三角形時(shí)，四邊形是正方形．理由如下：

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，，

又，

四邊形是平行四邊形，

，

，

，即，

四邊形是矩形．

已知，當(dāng)，則

，

，

四邊形是正方形；

（3）不可能．理由如下：如圖，

平分，平分，

，

若四邊形是菱形，則，

但在中，不可能存在兩個(gè)角為，所以不存在其為菱形．

故答案為：不可能．