【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,點D在邊AC上,連接BD,過A作BD的垂線交BD的延長線于點E.
(1)若M,N分別為線段AB,EC的中點,如圖1,求證:MN⊥EC;
(2)如圖2,過點C作CF⊥EC交BD于點F,求證:AE=2BF;
(3)如圖3,以AE為一邊作一個角等于∠BAC,這個角的另一邊與BE的延長線交于P點,O為BP的中點,連接OC,求證:OC=(BE﹣PE).
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
(1)連接EM、CM,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得EM=CM;再由等腰三角形三線合一的性質得出結論;
(2)證明△AEC∽△BFC,得由AC=2BC得AE=2BF;
(3)證明△ACB∽△AEP,得從而知道AE=2PE,由AE=2BF得PE=BF;根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得OC=EF,代入得結論.
證明:(1)如圖1,連接EM、CM,
∵AE⊥BE,M是AB的中點,
∴EM=AB,CM=AB,
∴EM=CM,
∵N是EC的中點,
∴MN⊥EC;
(2)如圖2,∵∠ECF=90°,∠ACB=90°,
∴∠ECA+∠ACF=90°,∠ACF+∠FCB=90°,
∴∠ECA=∠FCB,
∵∠CFB=∠ECF+∠CEF=90°+∠CEF,
∠AEC=∠AEB+∠CEF=90°+∠CEF,
∴∠CFB=∠AEC,
∴△AEC∽△BFC,
∴
∵AC=2BC,
∴AE=2BF;
(3)如圖3,過點C作CF⊥EC交BD于點F,
∵∠AEP=∠ACB=90°,∠BAC=∠PAE,
∴△ACB∽△AEP,
∴
∵AC=2BC,
∴AE=2PE,
∵AE=2BF,
∴PE=BF,
∵O為BP的中點,
∴PO=BO,
∴EO=FO,
∴CO=EF=(BE﹣BF)=(BE﹣PE).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市政府規(guī)定:若本市企業(yè)按生產成本價提供產品給大學生銷售,則政府給該企業(yè)補償補償額批發(fā)價生產成本價銷售量大學生小明投資銷售本市企業(yè)生產的一種新型節(jié)能燈,調查發(fā)現(xiàn),每月銷售量件與銷售單價元之間的關系近似滿足一次函數(shù):已知這種節(jié)能燈批發(fā)價為每件12元,設它的生產成本價為每件m元
(1)當時.
①若第一個月的銷售單價定為20元,則第一個月政府要給該企業(yè)補償多少元?
②設所獲得的利潤為元,當銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?
(2)物價部門規(guī)定,這種節(jié)能燈的銷售單價不得超過30元今年三月小明獲得贏利,此時政府給該企業(yè)補償了920元,若m,x都是正整數(shù),求m的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐標系中兩點,其中m為常數(shù),且m>0,E(0,n)為y軸上一動點,以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD,使AB=2BC,畫射線OA,把△ADC繞點C逆時針旋轉90°得△A′D′C′,連接ED′,拋物線()過E,A′兩點.
(1)填空:∠AOB= °,用m表示點A′的坐標:A′( , );
(2)當拋物線的頂點為A′,拋物線與線段AB交于點P,且時,△D′OE與△ABC是否相似?說明理由;
(3)若E與原點O重合,拋物線與射線OA的另一個交點為點M,過M作MN⊥y軸,垂足為N:
①求a,b,m滿足的關系式;
②當m為定值,拋物線與四邊形ABCD有公共點,線段MN的最大值為10,請你探究a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象于A(4,-8)、B(m,-2)兩點,交x軸于點C.
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關系式;
(2)根據(jù)圖象回答:當x為何值時,一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值?
(3)以O、A、B、P為頂點作平行四邊形,請直接寫出點P的坐標.
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【題目】撫順某中學為了解八年級學生的體能狀況,從八年級學生中隨機抽取部分學生進行體能測試,測試結果分為A,B,C,D四個等級.請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題:
(1)本次抽樣調查共抽取了多少名學生?
(2)求測試結果為C等級的學生數(shù),并補全條形圖;
(3)若該中學八年級共有700名學生,請你估計該中學八年級學生中體能測試結果為D等級的學生有多少名?
(4)若從體能為A等級的2名男生2名女生中隨機的抽取2名學生,做為該校培養(yǎng)運動員的重點對象,請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.
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【題目】如圖,經過正方形網格中的格點、、、,請你僅用網格中的格點及無刻度的直尺分別在圖1、圖2、圖3中畫出一個滿足下列兩個條件的:
(1)頂點在上且不與點、、、重合;
(2)在圖1、圖2、圖3中的正切值分別為1、、2.
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【題目】在一個不透明的盒子中放有四張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和三張分別寫有數(shù)字1、2、3的藍色卡片,卡片除顏色和數(shù)字外其它完全相同。
(1)從中任意抽取一張卡片,則該卡片上寫有數(shù)字1的概率是;
(2)將3張藍色卡片取出后放入另外一個不透明的盒子內,然后在兩個盒子內各任意抽取一張卡片,以紅色卡片上的數(shù)字作為十位數(shù),藍色卡片上的數(shù)字作為個位數(shù)組成一個兩位數(shù),求這個兩位數(shù)大于22的概率。(請利用樹狀圖或列表法說明)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,AD=CD,點E在AD上,DE=BD,M、N分別是AB、CE的中點.
(1)求證:△ADB≌△CDE;
(2)求∠MDN的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),函數(shù)y與自變量x的部分對應值如下表:
x | …… | ﹣1 | 0 | 1 | 4 | …… |
y | …… | 12 | 6 | 2 | 2 | …… |
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出不等式ax2+bx+c﹣2>0的解集是 .
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