【題目】如圖,在中, , 的垂直平分線分別與, 的延長線相交于點 , ,且. ⊙O是的外接圓, 的平分線交于點,交⊙O于點,連接, .

(1)求證:

(2)試判斷與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

(3)若, 求的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)相切. 理由見解析;(3).

【解析】試題分析:

(1)兩個三角形都是直角三角形,有一條直角邊相等,只需要得到另一組對應(yīng)角相等即可;

(2)連接OB,設(shè)法結(jié)合(1)的結(jié)論得到DBC=OBC,證明DBO=90°

(3)由△HFB與△HBF是一對相似三角形,得到,而△HEF是一個等腰直角三角形,則需要求EF的長,在直角△BEFBE=AB=1,故要求BF的長,又BF=BC,BC=BE+CE,CE=AE,在直角△ABE中求得AE的長.

試題解析:

(1)∵DFAC,△ABCRt△,

∴∠CED=∠FEB .

ABC=∠EBFRt∠,

,∴).

(2)相切. 理由如下:

連接, ∵DFAB的中垂線,∠ABC=90°,∴DBDCDA,

∴∠DBC=∠C.

由(1)∠DCB=∠EFB,而∠EFB=∠OBF,∴∠DBC=∠OBF.

.∴BD與⊙O相切.

(3)連接,AE.

BH是∠EBF的平分線,∴∠EBH=∠HBF=45°. ∠HFE=∠HBE=45°.

又∠GHF=∠FHB,∴△GHF∽△FHB

,∴HG·HBHF2.

∵⊙ORtBEF的外接圓,∴EF為⊙O的直徑,∴∠EHF=90°,

又∠HFE=45°,∴EHHF. ∴EF2EH2HF2=2HF2,

DF是線段AC的垂直平分線,∴AE=CE,

又∵,∴AB=BE=1,∴AE=CE=,所以BF=BC=,

由勾股定理得,

,∴.

練習(xí)冊系列答案
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C.(2,7)
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A.0 B.1 C. D.

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