Question

20．如圖，一次函數(shù)y=kx+b反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$象在第一象限交于點(diǎn)A（4，3），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且OA=OB．
（1）求函數(shù)y=kx+b和y=$\frac{a}{x}$的表達(dá)式；
（2）已知點(diǎn)C在x軸上，且△ABC的面積是8，求此時點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$（1≤x≤6）的圖象記為曲線C₁，將C₁向左平移2個單位長度，得曲線C₂，則C₁平移至C₂處所掃過的面積是20．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a值，從而得出反比例函數(shù)解析式；由勾股定理得出OA的長度從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），令直線AB與x軸的交點(diǎn)為D，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△ABC的面積是8，可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出m值，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)M、N分別對應(yīng)點(diǎn)E、F，根據(jù)反比例函數(shù)解析式以及平移的性質(zhì)找出點(diǎn)E、F、M、N的坐標(biāo)，根據(jù)EM∥FN，且EM=FN，可得出四邊形EMNF為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式求出平行四邊形EMNF的面積S，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出C₁平移至C₂處所掃過的面積正好為S．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（4，3）在反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的圖象上，
∴a=4×3=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{12}{x}$；
∵OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，OA=OB，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)B（0，-5）．
把點(diǎn)A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{-5=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=2x-5．
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），令直線AB與x軸的交點(diǎn)為D，如圖1所示．
令y=2x-5中y=0，則x=$\frac{5}{2}$，
∴D（$\frac{5}{2}$，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CD•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$|m-$\frac{5}{2}$|×[3-（-5）]=8，
解得：m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{9}{2}$．
故當(dāng)△ABC的面積是8時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0）或（$\frac{9}{2}$，0）．
（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)M、N分別對應(yīng)點(diǎn)E、F，如圖2所示．
令y=$\frac{12}{x}$中x=1，則y=12，
∴E（1，12），M（-1，12）；
令y=$\frac{12}{x}$中x=6，則y=2，
∴F（6，2），N（4，2）．
∵EM∥FN，且EM=FN，
∴四邊形EMNF為平行四邊形，
∴S=EM•（y_E-y_F）=2×（12-2）=20．
C₁平移至C₂處所掃過的面積正好為平行四邊形EMNF的面積．
故答案為：20．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積以及平行四邊形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）找出關(guān)于m的含絕對值符號的一元一次方程；（3）求出平行四邊形EMNF的面積．本題屬于中檔題，難度不小，解決（3）時，巧妙的借助平行四邊的面積公式求出C₁平移至C₂處所掃過的面積，此處要注意數(shù)形結(jié)合的重要性．