Question

【題目】如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點(diǎn)E，F，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm／s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm／s．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F，G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．

（1）當(dāng)t＝　 　 s時(shí)，四邊形EBFB'為正方形；

（2）若以點(diǎn)E，B，F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2.5．（2）或．（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）由題意得由BE=BF即可．

（2）分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF討論即可．

（3）用反證法證明，假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合，求出此時(shí)AE和BF的值，與已知的速度得到的比值比較得出錯(cuò)誤的結(jié)論．

試題

解：（1）∵AB＝10，BC＝12，∴．

由BE=BF得．

（2）由題意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t．

∵AB＝10，BC＝12，∴．

∵點(diǎn)F在BC上運(yùn)動(dòng)，∴，即．

①當(dāng)△EBF∽△FCG時(shí)，，∴，解得．

②當(dāng)△EBF∽△GCF時(shí)，，∴，化簡(jiǎn)，得．

解得（不合題意，舍去）．

∵，∴或符合題意．

∴若以點(diǎn)E，B，F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，則或．

（3）不存在，理由如下：

如圖，連接BD．

∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．

假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合，此時(shí)，EF是OB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)H．

∵易知，,．

∴△EHB∽△BHF∽△BCD，

∴．∴ ．

∵點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度的3倍，但，

∴不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合．