Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O 為原點(diǎn)，點(diǎn) A（4，0），點(diǎn) B（0，3），把△ABO 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點(diǎn) A、O 旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A′、O′，記旋轉(zhuǎn)角為ɑ．

(1)如圖 1，若ɑ＝90°，求 AA′的長(zhǎng)；

(2)如圖 2，若ɑ＝120°，求點(diǎn) O′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，）.

【解析】

（1）由題意可知OA=4，OB=3，由勾股定理求得AB=5.再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABA′為等腰直角三角形，即可得AA′=BA=5； （2）作O′H⊥y軸于點(diǎn)H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，即可得∠HBO′=60°.在Rt△BHO′中，∠BO′H′=30°，可得BH=BO′=.再由勾股定理求得O′H=.所以OH=OB+BH=，即可得點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，）.

（1）∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），

∴OA=4，OB=3.

∴AB==5.

∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′BO′，

∴BA=BA′，∠ABA′=90°.

∴△ABA′為等腰直角三角形，

∴AA′=BA=5.

（2）作O′H⊥y軸于點(diǎn)H.

∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，

∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°.

∴∠HBO′=60°.

在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°-∠HBO′=30°，

∴BH=BO′=.

∴O′H=.

∴OH=OB+BH=3+=.

∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，）.