【題目】在ABC中,∠BCA=90°,CD是邊AB上的中線,分別過點C,D作BA,BC的平行線交于點E,且DE交AC于點O,連接AE.

(1)求證:四邊形ADCE是菱形;
(2)若AC=2DE,求sin∠CDB的值.

【答案】
(1)

證明:∵DE∥BC,EC∥AB,

∴四邊形DBCE是平行四邊形.

∴EC∥DB,且EC=DB.

在Rt△ABC中,CD為AB邊上的中線,

∴AD=DB=CD.

∴EC=AD.

∴四邊形ADCE是平行四邊形.

∵ED∥BC.

∴∠AOD=∠ACB.

∵∠ACB=90°,

∴∠AOD=∠ACB=90°.

∴平行四邊形ADCE是菱形;


(2)

解: 過點C作CF⊥AB于點F,由(1)可知,BC=DE,設(shè)BC=x,則AC=2x,

在Rt△ABC中,AB= ,

CD= AB= ,

因為 AB·CF= AC·BC,

所以CF= x,

則sin∠CDB= = .


【解析】(1)根據(jù)兩組對邊平行DE∥BC,EC∥AB,可得四邊形DBCE是平行四邊形.則EC∥DB,且EC=DB.再由直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半,可得
AD=DB=CD,EC=AD.可得四邊形ADCE是平行四邊形.再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形ADCE是菱形;(2)根據(jù)AC=2DE=2BC,設(shè)BC=x,從而可得AC,由面積法可得CF,由斜邊的中線定理得CD的長,從而可求sin∠CDB.
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題.

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(1)圖中線段AB所表示的實際意義是 ;

(2)請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)已知該文具批發(fā)部這種筆記本的進價是3元/本,若小明購買此種筆記本超過10本但不超過20本,那么小明購買多少本時,該文具批發(fā)部在這次買賣中所獲的利潤W(元)最大?最大利潤是多少?

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(1)求AD的長及拋物線的解析式;
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