Question

3．如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，且滿足BE=BC．連接CE并延長交AD于點F，連接AE，過B點作BG⊥AE于點G，延長BG交AD于點H．在下列結論中：
①AH=DF；
②∠AEF=45°；
③S_{四邊形EFHG}=S_△DEF+S_△AGH，
其中正確的結論有（　�。�

• A． ①
• B． ①②
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 先判斷出∠DAE=∠ABH，再判斷△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判斷出Rt△ABH≌Rt△DCF從而得到①正確，根據(jù)三角形的外角求出∠AEF=45°，得出②正確；連接HE，判斷出S_△EFH≠S_△EFD得出③錯誤．

解答 解：∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是線段AE的垂直平分線，∠ABH=∠DBH=22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，
∵∠AGH=90°，
∴∠DAE=∠ABH=22.5°，
在△ADE和△CDE中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠ADE=∠CDE=45°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE=22.5°，
∴∠ABH=∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠ABH=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，
∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，
∴67.5°=22.5°+∠AEF，
∴∠AEF=45°，故①②正確；
如圖，連接HE，

∵BH是AE垂直平分線，
∴AG=EG，
∴S_△AGH=S_△HEG，
∵AH=HE，
∴∠AHG=∠EHG=67.5°，
∴∠DHE=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，
∴EH=ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S_△EFH≠S_△EFD，
∴S_{四邊形EFHG}=S_△HEG+S_△EFH=S_△AHG+S_△EFH≠S_△DEF+S_△AGH，故③錯誤，
∴正確的是①②，
故選B．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和和三角形外角的性質，解本題的關鍵是判斷出△ADE≌△CDE，難點是作出輔助線．