Question

15．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E為AC的中點，ED、CB的延長線交于點F．
（1）求證：△FDB∽△FCD；
（2）求證：$\frac{DF}{CF}=\frac{BC}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）由互余兩角的關(guān)系得出∠A=∠BCD，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DE=$\frac{1}{2}$AC=AE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠EDA，再由對頂角相等得出∠BDF=∠BCD，由公共角相等，即可得出△FDB∽△FCD；
（2）由相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{DF}{CF}=\frac{BD}{CD}$，證明△BCD∽△BAC，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{AC}$，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵E為AC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=AE，
∴∠A=∠EDA，
∵∠EDA=∠BDF，
∴∠BDF=∠BCD，
又∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FCD；
（2）證明：由（1）得：△FDB∽△FCD，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{BD}{CD}$，
∵∠CDB=∠ACB=90°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{BC}{AC}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．