Question

4．如圖，點P（a，b）在第一象限內(nèi)，PC⊥y軸于點C，PD⊥x軸于點D，兩條垂線交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象于點A、B．
（1）分別寫出A、B兩點的坐標(biāo)（用a，b，k表示）；
（2）求證：$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PB}{PD}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)P（a，b），PC⊥y軸于點C，PD⊥x軸于點D，于是得到A點的縱坐標(biāo)與P點的縱坐標(biāo)相同，B點橫坐標(biāo)與P點的橫坐標(biāo)相同，由于A、B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，即可得到結(jié)論；
（2）通過P，A，B點的坐標(biāo)得到CA=$\frac{k}$，PC=a，PD=b，DB=$\frac{k}{a}$，根據(jù)對應(yīng)線段的比相等得到結(jié)論．

解答 （1）解：P（a，b），PC⊥y軸于點C，PD⊥x軸于點D，
∴A點的縱坐標(biāo)與P點的縱坐標(biāo)相同，B點橫坐標(biāo)與P點的橫坐標(biāo)相同，
∵A、B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴A（$\frac{k}$，b），B（a，$\frac{k}{a}$）；

（2）證明：∵P（a，b），A（$\frac{k}$，b），B（a，$\frac{k}{a}$），
∴CA=$\frac{k}$，PC=a，PD=b，DB=$\frac{k}{a}$，
則PA=PC-CA=a-$\frac{k}$，PB=PD-DB=b-$\frac{k}{a}$，∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{a-\frac{k}}{a}$=$\frac{ab-k}{ab}$，$\frac{PB}{PD}$=$\frac{b=\frac{k}{a}}$=$\frac{ab-k}{ab}$，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PB}{PD}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是利用P點坐標(biāo)，點與點的坐標(biāo)關(guān)系，反比例函數(shù)的性質(zhì)表示相關(guān)線段的長得到結(jié)論．