Question

13．如圖①，矩形OABC的邊OA、OC分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B在第二象限，且點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)是一元二次方程m²+m-12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．把矩形OABC沿直線BE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)F處，點(diǎn)E在CO邊上．
（1）直接填空：B（-4，3），F(xiàn)（-1，3）；
（2）如圖②，若△BCE從該位置開(kāi)始，以固定的速度沿x軸水平向右移動(dòng)，直到點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合時(shí)停止．記△BCE平移后為△B′C′E′，△B′C′E′與四邊形OABE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出面積S與平移距離t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）如圖③，設(shè)點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，若點(diǎn)M在直線CG上，點(diǎn)N在y軸上，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、N、B、G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先解方程，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)特點(diǎn)寫(xiě)出B（-4，3），再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，重疊部分面積S就是四邊形B′GEE′的面積，利用面積差來(lái)求；當(dāng)1＜t＜4時(shí)，重疊部分面積S就是梯形OGB′C′的面積，可以直接求，也可以利用差求；當(dāng)t=4時(shí)，S=0；
（3）存在，如圖④⑤⑥，點(diǎn)M就是直線MG和直線MN的交點(diǎn)，求解析式，再列方程組求解即可．

解答 解：（1）如圖①，m²+m-12=0，
（m-3）（m+4）=0，
m₁=3，m₂=-4，
∴B（-4，3），
則F（-1，3），
故答案為：（-4，3），（-1，3）；
（2）當(dāng)E′與O重合時(shí)，EO=EE′=4-3=1，這時(shí)t=1，如圖②，
當(dāng)0≤t≤1時(shí)，△B′C′E′與四邊形OABE重疊部分是四邊形B′GEE′，
由平移得：BB′=EE′，BE∥BE′，
∵BB′∥EE′，
∴四邊形B′BEE′是平行四邊形，
∵BC=EC=3，∠BCE=90°，
∴∠CBE=45°，
∴∠EBB′=∠CBE=45°，
∴△BGB′是等腰直角三角形，
∴S=S_?BEE′B′-S_△BGB′=EE′•BC-$\frac{1}{2}$×BB′×B′G=3t-$\frac{1}{2}{t}^{2}$=-$\frac{1}{2}{t}^{2}+3t$；
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，如圖③，
OC′=4-t，
∴OE′=C′E′-OC′=3-（4-t）=t-1，
∵OG∥B′C′，
∴$\frac{OG}{B′C′}$=$\frac{OE′}{C′E′}$，
∴$\frac{OG}{3}=\frac{t-1}{3}$，
∴OG=t-1，
∴S=S_{△B′C′E′}-S_△GOE′=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$（t-1）²=-$\frac{1}{2}$t²+t+4；
當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)C與O重合，這時(shí)S=0；
綜上所述，S與平移距離t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+3t（0≤t≤1）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+t+4（1＜t≤4）}\end{array}\right.$；

（3）存在，如圖④，點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，
設(shè)MG的解析式為：y=kx+b，
把C（-4，0），G（-1，1.5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1.5}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=0.5}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴MG：y=0.5x+2，
∴H（0，2），
∵四邊形MNBG是平行四邊形，
∴BN∥MG，
∴設(shè)BN的解析式為：y=0.5x+n，
把B（-4，3）代入得：n=5，
∴BN：y=0.5x+5，
∴N（0，5），
同理得BG：y=-0.5x+1，
∵M(jìn)N∥BG，
∴MN：y=-0.5x+5，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-0.5x+5}\\{y=0.5x+2}\end{array}\right.$    解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3.5}\end{array}\right.$，
∴M（3，3.5）．
如圖⑤，點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，
CG：y=0.5x+2，
∴設(shè)M（a，0.5a+2），
BG：y=-0.5x+1，則設(shè)MN：y=-0.5x+b，N（0，b），
∴3-（0.5a+2）=1.5-b，
-0.5a+b=0.5①，
把M（a，0.5a+2）代入MN中，0.5a+2=-0.5a+b，
a-b=-2②，
由①②得：a=-3，b=-1，
∴M（-3，0.5），
如圖⑥，當(dāng)BG為對(duì)角線時(shí)，G（-1，$\frac{3}{2}$），
∴EG=$\frac{3}{2}$，
過(guò)M作MP⊥BC于P，過(guò)G作GQ⊥y軸于Q，
易得△BMP≌△NGQ，
∴MP=GQ=1，
∵CE∥MP，
∴∠GCE=∠CMP，
∴tan∠GCE=tan∠CMP=$\frac{EG}{CE}=\frac{CP}{PM}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$，
∴M（-5，-$\frac{1}{2}$），
綜上所述：符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，3.5）、（-3，0.5）、（-5，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，綜合考查出矩形、平行四邊形、等腰直角三角形折疊的性質(zhì)，與點(diǎn)的坐標(biāo)和一次函數(shù)相結(jié)合，同時(shí)又運(yùn)用了三角形的面積和解一元二次方程，知識(shí)點(diǎn)較多；運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想，使問(wèn)題得以解決，同時(shí)還要注意本題中的t是平移的距離，不是時(shí)間t．