Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，且．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值；

②點(diǎn)在直線上，若以為邊，點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）①S=，S的最大值為；②點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：P1（1，4），P2（2，3），P3（，），P4（，）．

【解析】

（1）由對(duì)稱軸和A點(diǎn)坐標(biāo)可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)，把C（0，3）代入，可求出a值，即可得答案；

（2）①如圖，連結(jié)BC，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線BC的解析式，根據(jù)可求出OD、CD的長(zhǎng)，設(shè)P（t，-t2+2t+3），則E（t，-t+3），可用含t的代數(shù)式表示出PE的長(zhǎng)，根據(jù)S四邊形CDBP=S△BCD+S△BPC可得S的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值；

②由以CD為邊，點(diǎn)C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形可得PQ∥CD，且PQ=CD，分點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方和點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)求出t值即可得答案．

（1）∵對(duì)稱軸為x=1，A（-1，0），

∴B（3，0），

設(shè)所求拋物線的表達(dá)式為y=a（x+1）（x-3），

∵拋物線經(jīng)過(guò)C（0，3）兩點(diǎn)，

∴3=a（0+1）（0-3），

解得：a=-1，

∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3．

（2）①如圖，連結(jié)BC，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，

∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=-x+3．

∵OB=3OD，OB=OC=3，

∴OD=1，CD=2．

設(shè)P（t，-t2+2t+3），則E（t，-t+3）．

∴PE=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t．

∴S四邊形CDBP=S△BCD+S△BPC=CD·OB+PE·OB，

∴S=

∵a=＜0，且0＜t＜3，

∴當(dāng)t=時(shí)，S的最大值為．

②∵以CD為邊，點(diǎn)C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴PQ∥CD，且PQ=CD=2，

∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在直線BC上，

∴點(diǎn)P（t，-t2+2t+3），點(diǎn)Q（t，-t+3）．

分兩種情況討論：

第一種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，

∴（-t2+2t+3）-（-t+3）=2．即t2-3t+2=0，

解得：t1=1，t2=2，

∴P1（1，4），P2（2，3）．

第二種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方時(shí)，

∴（-t+3）-（-t2+2t+3）=2．即t2-3t-2=0，

解得：t3=，t4=，

∴P3（，），P4（，）．

綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：P1（1，4）， P2（2，3），P3（，）， P4（，）．