Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝2，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，E為BD上任意點(diǎn)，P為AE中點(diǎn)，則PO＋PB的最小值為 （ ）

A.B.C.D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN為△ABD的中位線，點(diǎn)P在MN上，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則即為PO＋PB的最小值，易證△ABO為等邊三角形，過點(diǎn)A作AH⊥BO于H，求出，然后利用勾股定理求出BO即可．

解：如圖，設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN為△ABD的中位線，

∵P為AE中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P在MN上，

作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

∴，

∴PO＋PB=，

∵四邊形ABCD是矩形，∠AOD=120°，

∴OA=OB，∠AOB=60°，

∴△AOB為等邊三角形，

∴AB=BO=4，

過點(diǎn)A作AH⊥BO于H，

∴，

∵MN∥BD，點(diǎn)H關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)為，

∴，且，

∴，

即PO＋PB的最小值為，

故選：C．