【題目】如圖,已知在矩形ABCD中,AD=10cm,AB=4cm,動點P從點A出發(fā),以2cm/s的速度沿AD向終點D移動,設(shè)移動時間為(s) .連接PC,以PC為一邊作正方形PCEF,連接DE、DF.
(1)求正方形PCEF的面積(用含的代數(shù)式來表示,不要求化簡),并求當(dāng)正方形PCEF的面積為25 cm2時的值;
(2)設(shè)△DEF的面積為(cm2),求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)為何值時?△DEF的面積取得最小值,這個最小值是多少?
(3)求當(dāng)為何值時?△DEF為等腰三角形.
【答案】(1)當(dāng)=3.5s時,正方形PCEF的面積為25cm2;(2)當(dāng)s時,取得最小值為6;(3)當(dāng)s,3 s或4 s時,△DEF為等腰三角形.
【解析】
(1)依題意可得:AP=2,PD=10-2,CD=AB=4,解Rt△PDC,PC2= (10-2)2+16,則正方形PCEF的面積為(10-2)2+16,當(dāng) (10-2)2+16=25,解方程即可得出結(jié)果;
(2)過點F作FM⊥AD于點M,過點E作EN⊥BC的延長線于點N,△PCD≌△FPM,FM=PD=10-2,PM=CD=4, △PCD≌△ECN,EN=PD=10-2,CN=CD=4, 根據(jù)圖形面積關(guān)系可得S△DEF= S正方形PCEF- S△PDF- S△PDC- S△DCE,得到S關(guān)于t的函數(shù)式,即可求得.
(3)當(dāng)△DEF為等腰三角形時,分四種情況進行討論,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算FE和FD的長,用關(guān)于t的式子表示,計算可得t的值.
解:(1)依題意可得:AP=2,PD=10-2,CD=AB=4,
在Rt△PDC中,由勾股定理可得:
PC2= PD2+ CD2=(10-2)2+16,
∴正方形PCEF的面積為(10-2)2+16,
當(dāng)正方形PCEF的面積為25時,有(10-2)2+16=25,
解得:t1=3.5,t2=6.5(不合題意,舍去)
∴當(dāng)=3.5s時,正方形PCEF的面積為25cm2.
(2)過點F作FM⊥AD于點M,過點E作EN⊥BC的延長線于點N,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠PDC =90°,
∴∠PDC =∠FMP =90°,且∠DPC +∠PCD =90°,
∵四邊形PCEF是正方形,
∴PF=CP,∠DPC +∠FPM =90°,
∴∠PCD=∠FPM,
∴△PCD≌△FPM(AAS),
∴FM=PD=10-2,PM=CD=4,
同理可得:△PCD≌△ECN,
∴EN=PD=10-2,CN=CD=4,
∵S△DEF= S正方形PCEF- S△PDF- S△PDC- S△DCE,
∴
,
∵,
∴當(dāng)s時,取得最小值為6.
(3)過點D作DG⊥EN于點G,則四邊形DCNG是正方形,
∴GN=DG=DC=4,
∴EG=EN-GN=10-2-4=6-2,
在Rt△DGE中,DE2= DG2+ EG2=16+(6-2)2,
在Rt△FMD中,DM=PD-PM=10-2-4=6-2,
∴FD2= FM2+DM2=(10-2)2+(6-2)2,
在Rt△PCD中,PC2= PD2+CD2= (10-2)2+16,
∴EF2= (10-2)2+16=(10-2)2+(6-2)2,
解得:t1=1,t2=5(不合題意,舍去),
若FE=DE,則有(10-2)2+16=16+(6-2)2,
解得:t =4,
若FD=DE,則有(10-2)2+(6-2)2=16+(6-2)2,
解得:t1=3,t2=7(不合題意,舍去),
綜上所述,當(dāng)s,3 s或4 s時,△DEF為等腰三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某藥店銷售口罩,進價15元,售價20元,為防控新冠肺炎疫情,藥店決定凡是一次性購買10個以上的客戶,每多買一個,售價就降低0.1元(顧客所購買的全部口罩),但最低價是17元/個.
(1)顧客一次性至少購買多少個口罩時,才能以最低價17元/個購買?
(2)寫出一次性購買x個口罩時(x>10),藥店的利潤y(元)與購買量x(個)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在銷售過程中,藥店發(fā)現(xiàn)一次性賣出36個口罩時比賣出26個口罩的錢少,為了使每次銷售均能達到多賣就能多獲利,在其他促銷條件不變的情況下,最低價應(yīng)確定為每個多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知鈍角△ABC
(1)過點A作BC邊的垂線,交CB的延長線于點D;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)在(1)的條件下,若∠ABC=122°,BC=5,AD=4,求CD的長.(結(jié)果保留到0.1,參考數(shù)據(jù):sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62.)
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【題目】如圖,CE是ABCD的邊AB的垂直平分線,垂足為點O,CE與DA的延長線交于點E.連接AC,BE,DO,DO與AC交于點F,則下列結(jié)論:①四邊形ACBE是菱形;②∠ACD=∠BAE;③AF:BE=2:3;④S四邊形AFOE:S△COD=2:3;以上四個結(jié)論中所有正確的結(jié)論是( 。
A.①②B.①②③C.②④D.①②④
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,點E在邊BC上,把△DEC沿DE翻折后,點C落在C′處.若△ABC′恰為等腰三角形,則CE的長為__________.
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【題目】為了解某次“小學(xué)生書法比賽”的成績情況,隨機抽取了30名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計情況繪成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖,己知成績x(單位:分)均滿足“50≤x<100”.根據(jù)圖中信息回答下列問題:
(1)圖中a的值為 ;
(2)若要繪制該樣本的扇形統(tǒng)計圖,則成績x在“70≤x<80”所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為 度;
(3)此次比賽共有300名學(xué)生參加,若將“x≥80”的成績記為“優(yōu)秀”,則獲得“優(yōu)秀“的學(xué)生大約有 人:
(4)在這些抽查的樣本中,小明的成績?yōu)?2分,若從成績在“50≤x<60”和“90≤x<100”的學(xué)生中任選2人,請用列表或畫樹狀圖的方法,求小明被選中的概率.
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【題目】如圖,AB、CD是⊙O的切線,B、D為切點,AB=2,CD=4,AC=10.若∠A+∠C=90°,則⊙O的半徑是_______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點,與反比例函數(shù)的圖象交于C、D兩點,DE⊥x軸于點E,已知C點的坐標是(6,-1),DE=3.
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)圖象寫出不等式kx+b>的解集.
(3)連接OC、OD,求的面積.
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【題目】新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎,其病原體是一種先前未在人體中發(fā)現(xiàn)的新型冠狀病毒.市民出于防疫的需求,持續(xù)搶購防護用品.某藥店口罩每袋售價20元,醫(yī)用酒精每瓶售價15元.
(1)該藥店第一周口罩的銷售袋數(shù)比醫(yī)用酒精的銷售瓶數(shù)多100,且第一周這兩種防護用品的總銷售額為9000元,求該藥店第一周銷售口罩多少袋?
(2)由于疫情緊張,該藥店為了幫助大家共渡難關(guān),第二周口罩售價降低了,銷量比第一周增加了,醫(yī)用酒精的售價保持不變,銷量比第一周增加了,結(jié)果口罩和醫(yī)用酒精第二周的總銷售額比第一周增加了,求的值.
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