Question

【題目】如圖1，直角∠EPF的頂點(diǎn)和正方形ABCD的頂點(diǎn)C重合，兩直角邊PE，PF分別和AB，AD所在的直線交于點(diǎn)E和F．易得△PBE≌△PDF，故結(jié)論“PE=PF”成立；
（1）如圖2，若點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？說明理由；
（2）如圖（3）將（2）中正方形ABCD改為矩形ABCD其他條件不變，若AB=m，BC=n，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：成立．

證明如下：

如圖，過點(diǎn)P分別作AB、AD的垂線，垂足分別為G、H，

則∠GPH=90°，PG=PH，∠PGE=∠PHF=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠1=∠2，

∴△PGE≌△PHF，

∴PE=PF；

（2）解：如圖3，

過點(diǎn)P分別作AB、AD的垂線，垂足分別為G、H，

則∠GPH=90°，∠PGE=∠PHF=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠FPH=∠EPG，

∴△PGE∽△PHF，

∴

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB，∠PGA=∠PHA=∠BAC=∠ABC=90°，

∴PG∥BC，PH∥CD，

∴△APG∽△ACB，△APH∽△ACD，

∴ ， ，

∴ ，

∴ = ，

∴ ．

【解析】（1）過點(diǎn)P分別作AB、AD的垂線，垂足分別為G、H，有材料提供的證明思路可證明△PGE≌△PHF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等可得：PE=PF；（2）有（1）證題思路可知方形ABCD改為矩形ABCD其他條件不變，則△PGE∽△PHF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可得： 的比值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用垂線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握垂線的性質(zhì)：1、過一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直．2、垂線段最短；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．