Question

8．已知點(diǎn)P（x₀，y₀）和直線y=kx+b，則點(diǎn)P到直線y=kx+b的距離證明可用公式d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$計(jì)算．
例如：求點(diǎn)P（-1，2）到直線y=3x+7的距離．
解：因?yàn)橹本€y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以點(diǎn)P（-1，2）到直線y=3x+7的距離為：d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|3×（-1）-2+7|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）求點(diǎn)P（1，-1）到直線y=x-1的距離；
（2）已知⊙Q的圓心Q坐標(biāo)為（0，5），半徑r為2，判斷⊙Q與直線y=$\sqrt{3}$x+9的位置關(guān)系并說明理由；
（3）已知直線y=-2x+4與y=-2x-6平行，求這兩條直線之間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P到直線y=kx+b的距離公式直接計(jì)算即可；
（2）先利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出圓心Q到直線y=$\sqrt{3}$x+9，然后根據(jù)切線的判定方法可判斷⊙Q與直線y=$\sqrt{3}$x+9相切；
（3）利用兩平行線間的距離定義，在直線y=-2x+4上任意取一點(diǎn)，然后計(jì)算這個(gè)點(diǎn)到直線y=-2x-6的距離即可．

解答 解：（1）因?yàn)橹本€y=x-1，其中k=1，b=-1，
所以點(diǎn)P（1，-1）到直線y=x-1的距離為：d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|1×1-（-1）+（-1）|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）⊙Q與直線y=$\sqrt{3}$x+9的位置關(guān)系為相切．
理由如下：
圓心Q（0，5）到直線y=$\sqrt{3}$x+9的距離為：d=$\frac{|\sqrt{3}×0-5+9|}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{4}{2}$=2，
而⊙O的半徑r為2，即d=r，
所以⊙Q與直線y=$\sqrt{3}$x+9相切；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=-2x+4=4，即點(diǎn)（0，4）在直線y=-2x+4，
因?yàn)辄c(diǎn)（0，4）到直線y=-2x-6的距離為：d=$\frac{|0×（-2）-4-6|}{\sqrt{1+（-2）^{2}}}$=$\frac{10}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
因?yàn)橹本€y=-2x+4與y=-2x-6平行，
所以這兩條直線之間的距離為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合題：熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、切線的判定方法和兩平行線間的距離的定義；提高閱讀理解能力．