Question

【題目】如圖1，直線交軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)C（0,4）.拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)B（0，-2）.點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P作軸的垂線PD，過點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)；

（3）如圖2，將△BDP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC，當(dāng)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當(dāng)△BPD為等腰直角三角形時(shí)，PD的長(zhǎng)為.

（3）,,.

【解析】

試題分析：（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,可得P（m，），D（m，-2），若△BPD為等腰直角三角形，則PD=BD.分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的上方時(shí)，PD=,再分點(diǎn)P在y軸的左側(cè)和右側(cè)兩種情況，列方程求解即可；②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的下方時(shí)，m＞0，BD=m，PD=,列方程求解即可；（3）∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠PBP/=，cos∠PBP/=，①當(dāng)點(diǎn)P/落在x軸上時(shí)，過點(diǎn)D/作D/N⊥x軸于N，交BD于點(diǎn)M，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,如圖1，ND/-MD/=2,即×（m2-m）-（-m）=2；如圖2，ND/-MD/=2，即×（m2-m）-（-m）=2解得：P（－，）或P（，）；②當(dāng)點(diǎn)P/落在y軸上時(shí)，

如圖3，過點(diǎn)D/作D/M⊥x軸交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)P/作P/N⊥y軸，交MD/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,∵PN=BM,即 ×（m2-m）= m∴P（，）

試題解析：（1）由直線過點(diǎn)C（0,4），得n=4，∴.

當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=3，∴A（3,0）.

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3,0），B（0，-2），

∴，解得

∴.

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,∴P（m，），D（m，-2）.

若△BPD為等腰直角三角形，則PD=BD.

①當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的上方時(shí)，PD=,

（Ⅰ）若點(diǎn)P在y軸的左側(cè)，則m＜0，BD=-m，

∴，

解得（舍去）.

（Ⅱ）若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)，則m＞0，BD=m，

∴，

解得.

②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的下方時(shí)，m＞0，BD=m，PD=,

∴，

解得.

綜上m=.

即當(dāng)△BPD為等腰直角三角形時(shí)，PD的長(zhǎng)為.

（3）,,.