Question

3．已知A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²+bx-3圖象上的兩點(diǎn)，且x₁-x₂=-1，x₁•x₂=6，y₁-y₂=-$\frac{3}{4}$，b＞-$\frac{1}{2}$，當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，求y的取值范圍．

Answer 1

分析 把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx-3得y₁=$\frac{1}{4}$x₁²+bx₁-3，y₂=$\frac{1}{4}$x₂²+bx₂-3，根據(jù)已知條件列方程得到$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）•（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=-$\frac{3}{4}$，根據(jù)完全平方公式得到x₁+x₂=±5，求得b=2，得到二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+2x-3，把x=-2，x=1代入二次函數(shù)的解析式得到y(tǒng)=-6，y=-$\frac{3}{4}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx-3得y₁=$\frac{1}{4}$x₁²+bx₁-3，y₂=$\frac{1}{4}$x₂²+bx₂-3，
∵y₁-y₂=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$x₁²+bx₁-3-（$\frac{1}{4}$x₂²+bx₂-3）=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）•（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=-$\frac{3}{4}$，
∵x₁-x₂=-1，x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{4x}_{1}{x}_{2}}$=1，
∴x₁+x₂=±5，
當(dāng)x₁+x₂=5時(shí)，$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）•（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=$\frac{1}{4}$×（-1）×5+b（-1）=-$\frac{3}{4}$，
解得：b=-$\frac{1}{2}$，
∵b＞-$\frac{1}{2}$，∴b=-$\frac{1}{2}$不合題意，
當(dāng)x₁+x₂=-5時(shí)，$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）•（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=$\frac{1}{4}$×（-1）×（-5）+b（-1）=-$\frac{3}{4}$，
解得：b=2，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+2x-3，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-6，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，求y的取值范圍是-6＜y＜-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．