【題目】定義:在一個(gè)三角形中,若存在兩條邊xy,使得yx2,則稱此三角形為平方三角形,x稱為平方邊.

1若等邊三角形為平方三角形,則面積為   命題;有一個(gè)角為30°且有一條直角邊為2的直角三角形是平方三角形   命題;(填

2)若a,b,c是平方三角形的三條邊,平方邊a2,若三角形中存在一個(gè)角為60°,求c的值;

3)如圖,在ABC中,DBC上一點(diǎn).

①若∠CAD=∠B,CD1,求證,ABC是平方三角形;

②若∠C90°,BD1,ACmCDn,求tanDAB.(用含m,n的代數(shù)式表示)

【答案】1)真,假;(2c的長(zhǎng)為41+(3)①見(jiàn)解析;②tanDAB

【解析】

1)①根據(jù)平方三角形的定義,求出等邊三角形的邊長(zhǎng)即可判斷.②分兩種情形分別判斷即可.

2)為a,b,c是平方三角形的三條邊,平方邊a2,三角形中存在一個(gè)角為60°,只有∠B或∠C60°,∠A不可能為60°,不妨設(shè)∠B60°,BC2,分兩種情形:如圖1中,①當(dāng)ca2時(shí).②如圖2中,當(dāng)ba24時(shí),作CHABH.求出AB即可.

3)①證明CAD∽△CBA,利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

②如圖4中,作DHABH.利用相似三角形的性質(zhì)求出DH,AH即可解決問(wèn)題.

解:(1)∵等邊三角形為平方三角形,

∴根據(jù)平方三角形的定義可知:等邊三角形的邊長(zhǎng)為1,

∴等邊三角形的面積=,

∴①是真命題.

當(dāng)直角三角形中,30°所對(duì)的直角邊為2時(shí),斜邊為4,滿足平方三角形的定義,

當(dāng)直角三角形中,和30°相鄰的直角邊是2時(shí),不是平方三角形,

故②是假命題,

故答案為真,假.

2)因?yàn)?/span>ab,c是平方三角形的三條邊,平方邊a2,三角形中存在一個(gè)角為60°,

只有∠B或∠C60°,∠A不可能為60°,不妨設(shè)∠B60°,BC2,

如圖1中,①當(dāng)ca2時(shí),∵a2,

c224

如圖2中,當(dāng)ba24時(shí),作CHABH

RtBCH中,∵∠B60°,∠CHB90°,BC2,

BHBC1,CHBH,

RtACH中,AH,

cABBH+AH1+,

綜上所述,c的長(zhǎng)為41+

3)①如圖3中,

∵∠C=∠C,∠CAD=∠B

∴△CAD∽△CBA

,

AC2CDCB,

CD1

AC2BC,

∴△ABC是平方三角形.

②如圖4中,作DHABH

RtABC中,∵∠C90°,ACm,BCCD+BD1+n,

AB,

DHAB

∴∠DHB90°,

∵∠B=∠B,∠DHB=∠C90°,

∴△BHD∽△BCA,

,

DH,BH,

AH

tanDAB

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求k的值;

2)點(diǎn)P在(1)的反比例函數(shù)yx0)的圖象上,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,在x軸上有一點(diǎn)D4,0),若在直線yx上有動(dòng)點(diǎn)C,構(gòu)成PDC,其面積為3,請(qǐng)寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo);

3)若∠EPF90°,其兩邊分別為與x軸正半軸,直線yx交于點(diǎn)E、F,問(wèn)是否存在點(diǎn)E,使PEPF?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】△ABC中,AB=AC≠BC,點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè),BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,連接AD,求∠ADB的度數(shù).(不必解答)

(1)小聰先從特殊問(wèn)題開(kāi)始研究,當(dāng)α=90°,β=30°時(shí),利用軸對(duì)稱知識(shí),以AB為對(duì)稱軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱圖形△ABD′,連接CD′(如圖2),然后利用α=90°,β=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便可解決這個(gè)問(wèn)題.

請(qǐng)結(jié)合小聰研究問(wèn)題的過(guò)程和思路,在這種特殊情況下填空:△D′BC的形狀是   三角形;∠ADB的度數(shù)為   

(2)在原問(wèn)題中,當(dāng)∠DBC<∠ABC(如圖1)時(shí),請(qǐng)計(jì)算∠ADB的度數(shù);

(3)在原問(wèn)題中,過(guò)點(diǎn)A作直線AE⊥BD,交直線BDE,其他條件不變?nèi)?/span>BC=7,AD=2.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)為   

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【題目】某市努力改善空氣質(zhì)量,近年來(lái)空氣質(zhì)量明顯好轉(zhuǎn),根據(jù)該市環(huán)境保護(hù)局公布的2010﹣2014這五年各年全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)如表所示,根據(jù)表中信息回答:

2010

2011

2012

2013

2014

234

233

245

247

256

(1)這五年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的中位數(shù)是________,平均數(shù)是________

(2)這五年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)與它前一年相比增加最多的是________年(填寫(xiě)年份);

(3)求這五年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的方差________

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A. B. C. D.

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