如圖，拋物線y=ax2+bx+
5
2
與直線ABy=
1
2
x+
1
2
交于x軸上的一點A，和另一點B（4，n）．點P是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點（不與點A，B重合），直線PQ與直線AB垂直，交直線AB于點Q，．
（1）求拋物線的解析式和cos∠BAO的值；
（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段PQ的長，并求出線段PQ長的最大值；
（3）點E是拋物線上一點，過點E作EF∥AC，交直線AB與點F，若以E、F、A、C為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點E的坐標(biāo)．
分析：（1）令直線AB解析式中y=0求出x的值，確定出A的坐標(biāo)，將B坐標(biāo)代入直線AB解析式中求出n的值，確定出B坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出a與b的值，即可確定出拋物線解析式；過B作BH垂直于x軸，由B坐標(biāo)求出OH與BH的長，根據(jù)OA+OH求出AH的長，利用勾股定理求出AB的長，在直角三角形ABH中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出cos∠BAO的值；
（2）過P作PM平行于y軸，交直線AB解析式于點M，PM的長等于P的縱坐標(biāo)減去M縱坐標(biāo)，表示出即可；由∠BAH=∠MPQ，得到兩角的余弦值相等，在直角三角形MPQ中，由PM表示出PQ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值；
（3）由C坐標(biāo)及直線AB解析式，利用點到直線的距離公式求出C到直線AB的距離，設(shè)E坐標(biāo)為（a，-
1
2
a2+2a+
5
2
），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到E到直線AB的距離等于C到直線AB的距離，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出滿足題意E的坐標(biāo)．
解答：解：（1）把y=0代入y=
1
2
x+
1
2
得：x=-1，
∴A（-1，0），
把點B（4，n）代入y=
1
2
x+
1
2
得：n=
5
2
，
∴B（4，
5
2
），
把A（-1，0）、B（4，
5
2
）代入y=ax2+bx+
5
2
得：
a-b+
5
2
=0
16a+4b+
5
2
=
5
2
，
解得：
a=-
1
2
b=2
，
∴y=-
1
2
x2+2x+
5
2
，
過點B作BH⊥x軸于點H，則BH=2.5，OH=4，
∴AH=5，
由勾股定理得：AB=
AH2+BH2
=
5
5
2
，
∴cos∠BAO=
AH
AB
=
5
5
5
2
=
2
5
5
；
（2）過點P作PM∥y軸交直線AB于點M，
P（m，-
1
2
m2+2m+
5
2
），M（m，
1
2
m+
1
2
）
∴PM=（-
1
2
m2+2m+
5
2
）-（
1
2
m+
1
2
）=-
1
2
m2+
3
2
m+2，
∵∠BAH=∠MPQ，
∴PQ=PMcos∠MPQ=PMcos∠BAH=
2
5
5
（-
1
2
m2+
3
2
m+2）=-
5
5
m2+
3
5
5
m+
4
5
5
，
∵-
5
5
＜0，
∴當(dāng)m=-
3
5
5
2×(-
5
5
)
=
3
2
時，PQ最大值=
5
5
4
；
（3）設(shè)E（a，-
1
2
a2+2a+
5
2
），
∵C（0，
5
2
），直線AB解析式為y=
1
2
x+
1
2
，
∴點C到直線AB的距離d=
|-
5
2
+
1
2
|
(
1
2
)2+(
1
2
)2
=2
2
，
∴E到直線AB的距離d=
|
1
2
a+
1
2
a2-2a-
5
2
|
(
1
2
)2+(
1
2
)2
=2
2
，即|
1
2
a2-
3
2
a-2|=2，
整理得：a2-3a-8=0或a2-3a=0，
解得：a=
3+
41
2
或a=
3-
41
2
或a=0（與C重合，舍去）或a=3，
則E坐標(biāo)為（3，4），（
3+
41
2
，
-3+7
41
4
），（
3-
41
2
，
-3-
41
4
）
點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，點到直線的距離公式，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及點到直線的距離公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、如圖，直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標(biāo)系中可能是（　　）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點P（-
1
2
，
9
8
），且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A，B兩點．
（1）求a值；
（2）設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M，N兩點（點M在點N的左邊），y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點（點E在點F的左邊），觀察M，N，E，F(xiàn)四點的坐標(biāo)，寫出一條正確的結(jié)論，并通過計算說明；
（3）設(shè)A，B兩點的橫坐標(biāo)分別記為xA，xB，若在x軸上有一動點Q（x，0），且xA≤x≤xB，過Q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D精英家教網(wǎng)兩點，試問當(dāng)x為何值時，線段CD有最大值，其最大值為多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負半軸于點A，交x軸正半軸于點B，交y軸正半軸于點D，精英家教網(wǎng)O為坐標(biāo)原點，拋物線上一點C的橫坐標(biāo)為1．
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點為點D，與y軸相交于點A，直線y=ax+3與y軸也交于點A，矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓，當(dāng)⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點的距離為4時，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）若線段DO與AB交于點E，以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似，如果有可能，請求出點D坐標(biāo)及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C（0，-2），精英家教網(wǎng)與x軸交于點A、B，點A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動點，N是線段OC上一動點，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當(dāng)△MNC的面積最大時，求點M、N的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P，與線段AC交于點F，點D的坐標(biāo)為（-1，0）．問：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案