【題目】韋達定理:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1、x2 , 則x1+x2=﹣ , x1x2= , 閱讀下面應(yīng)用韋達定理的過程:
若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的兩根分別為x1、x2 , 求x12+x22的值.
解:該一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×(﹣2)×1=24>0
由韋達定理可得,x1+x2=﹣=﹣=2,x1x2===﹣
x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2
=22﹣2×(﹣)
=5
然后解答下列問題:
(1)設(shè)一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根分別為x1,x2, 不解方程,求x12+x22的值;
(2)若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+(k2﹣1)x+(k﹣1)2=0的兩根分別為α,β,且α2+β2=4,求k的值.
【答案】(1)x12+x22=;(2)k的值為﹣1.
【解析】
(1)先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=﹣, x1x2=﹣,再利用完全平方公式變形得到x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,然后利用整體代入的方法計算即可;
(2)根據(jù)一元二次方程(k-1)x2+(k2-1)x+(k-1)2=0的兩根分別為α,β,求出兩根之積和兩根之和的關(guān)于k的表達式,再將α2+β2=4變形,將表達式代入變形后的等式,解方程即可.
解:(1)∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×(﹣1)=17>0,
由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=﹣, x1x2=﹣,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2==;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系知:=﹣k﹣1,=k﹣1,
α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=(k+1)2﹣2(k﹣1)=k2+3
∴k2+3=4,
∴k=±1,
∵k﹣1≠0
∴k≠1,
∴
將代入原方程:﹣2x2+4=0,
△=32>0,
∴成立,
∴k的值為.
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【題目】在一只不透明的布袋中裝有紅球 3 個、黃球 1 個,這些球除顏色外都相同,均勻搖勻.
(1)從布袋中一次摸出 1 個球,計算“摸出的球恰是黃球”的概率;
(2)從布袋中一次摸出 2 個球,計算“摸出的球恰是一紅一黃”的概率(用“ 畫樹狀圖”或“列表”的方法寫出計算過程).
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【題目】如圖是一個正方體骰子的表面展開圖,請根據(jù)要求回答問題:
(1)如果1點在上面,3點在左面,幾點在前面?
(2)如果5點在下面,幾點在上面?
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC為直角,以AB為直徑作⊙O交AC于點D,點E為BC中點,連結(jié)DE,DB.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)若∠C=30°,求∠BOD的度數(shù);
(3)在(2)的條件下,若⊙O半徑為2, 求陰影部分面積.
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【題目】已知正方形ABCD的邊長為4cm,E,F(xiàn)分別為邊DC,BC上的點,BF=1cm,CE=2cm,BE,DF相交于點G,求四邊形CEGF的面積.
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【題目】(9分)已知:ABCD的兩邊AB,AD的長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根.
(1)當m為何值時,四邊形ABCD是菱形?求出這時菱形的邊長;
(2)若AB的長為2,那么ABCD的周長是多少?
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【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38°.
(1)如圖①,若D為弧AB的中點,求∠ABC和∠ABD的大小;
(2)如圖②,過點D作⊙O的切線,與AB的延長線交于點P,若DP∥AC,求∠OCD的大。
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【題目】水果店張阿姨以每斤4元的價格購進某種水果若干斤,然后以每斤6元的價格出售,每天可售出150斤,通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種水果每斤的售價每降低0.1元,每天可多售出30斤,為保證每天至少售出360斤,張阿姨決定降價銷售.
(1)若將這種水果每斤的售價降低x元,則每天的銷售量是 斤(用含x的代數(shù)式表示);
(2)銷售這種水果要想每天盈利450元,張阿姨需將每斤的售價降低多少元?
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【題目】如圖,AB為半圓的直徑,C是半圓弧上一點,正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上,另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心O,且點E在半圓弧上.若正方形DEFG的面積為100,且△ABC的內(nèi)切圓半徑r=4,則半圓的直徑AB=____.
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