【題目】如圖,邊長為的正方形中,P是對角線上的一個動點(點P與A、C不重合),連接,將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到,連接,與交于點E,延長線與(或延長線)交于點F.
(1)連接,證明:;
(2)設(shè),試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)x為何值時,;
(3)猜想與的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)證明過程見解析;(2),當(dāng)x=3或1時,;(3)PF=EQ,證明見解析;
【解析】
(1)證出,由SAS證明可得結(jié)論;
(2)如圖證明,列比利式可得y與x的關(guān)系式,根據(jù)計算CE的長,即y的長,代入關(guān)系式解方程可得x的值;
(3)如圖做輔助線,當(dāng)F在邊AD上時,構(gòu)建全等三角形,證明,得EQ=PG,由F、A、G、P四點共圓,得,所以△FPG是等腰直角三角形,可得結(jié)論;如圖,當(dāng)F在AD延長線上時,同理可得結(jié)論.
(1)證明:
∵線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段BQ,
∴BP=BQ,,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BA=BC,,
∴,
∴,即,
在△BAP和△BCQ中,
∵,
∴(SAS),
∴CQ=AP.
(2)如圖,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴,,
∴,
∵DC=AD=,
由勾股定理可得:
,
∵AP=x,
∴PC=4-x,
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
由,
∴,
得到,
,
得x=3或x=1.
當(dāng)x=3或1時,.
(3)結(jié)論:PF=EQ,理由是:
如圖,當(dāng)F在邊AD上時,過P作,交AB于G,則,
∵,
∴,
∴,
∵PB=BQ,,
∴(SAS),
∴EQ=PG,
∵,
∴F、A、G、P四點共圓,
連接FG,
∴,
∴△FPG是等腰直角三角形,
∴PF=PG,
∴PF=EQ.
當(dāng)F在AD的延長線上時,如圖所示,同理可得:PF=PG=EQ.
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【題目】學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批甲、乙兩種辦公桌若干張,并且每買1張辦公桌必須買2把椅子,椅子每把100元,若學(xué)校購進(jìn)20張甲種辦公桌和15張乙種辦公桌共花費24000元;購買10張甲種辦公桌比購買5張乙種辦公桌多花費2000元.
(1)求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元?
(2)若學(xué)校購買甲乙兩種辦公桌共40張,且甲種辦公桌數(shù)量不多于乙種辦公桌數(shù)量的3倍,請你給出一種費用最少的方案,并求出該方案所需費用.
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【題目】截至北京時間2020年3月22日14時30分,全球新冠肺炎確診病例達(dá)305740例,超過30萬,死亡病例累計12762人,將“305740”這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示保留兩位有效數(shù)字為( )
A.3.05740×105B.3.05×105C.3.0×105D.3.1×105
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),與反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象交于點B(,n).連接OB,若S△AOB=1.
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)直接寫出不等式組 的解集.
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【題目】如圖,正方形的邊長為4,延長至E使,以為邊在上方作正方形,延長交于M,連接,,H為的中點,連接分別與,交于點N、K.則下列結(jié)論:
①;②;③;④.
其中正確的是______________.(填寫所有正確結(jié)論的序號)
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【題目】如圖,ABCD中,∠A=45°,連接BD,且BD⊥AD,點E、點F分別是AB、CD上的點,連接EF交BD于點O,且EF⊥CD,BE=DF=1.
(1)求EF的長;
(2)直接寫出ABCD的面積 .
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【題目】如圖,正方形的邊長為,點是上一點,以為直徑在正方形內(nèi)作半圓,將沿翻折,點剛好落在半圓上的點處,則的長為( )
A.B.C.D.
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【題目】小明和小亮用如圖所示的甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤(甲轉(zhuǎn)盤被分成五個面積相等的扇形,乙轉(zhuǎn)盤被分成四個面積相等的扇形)做游戲,轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次(如果指針恰好在分割線上,那么重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一扇形區(qū)域為止).
(1)請你求出甲轉(zhuǎn)盤指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率;
(2)若兩次數(shù)字之和為,或時,則小明勝,否則小亮勝,這個游戲?qū)﹄p方公平嗎?請你用樹狀圖或列表法說說你的理由.
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【題目】(1)如圖,一塊四邊形紙板剪去,得到四邊形,測得,,.能否在四邊形紙板上只剪一刀,使剪下的三角形與全等?請說明理由.
(2)我市某學(xué)校八年級同學(xué)乘坐大巴車去長江青少年素質(zhì)教育實踐基地參加綜合實踐活動.1號車出發(fā)4分鐘后,2號車才出發(fā),結(jié)果兩車同時到達(dá).已知素質(zhì)教育基地距離該校18千米,2號車的平均速度是1車的平均速度的倍.請你就“1號車”提出一個用分式方程解決的問題,并寫出解題過程.
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