【題目】在平面直角坐標系中,已知拋物線y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))的頂點為P,等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為(0,﹣1),C的坐標為(4,3),直角頂點B在第四象限.
(1)如圖,若該拋物線過A,B兩點,求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)平移(1)中的拋物線,使頂點P在直線AC上滑動,且與AC交于另一點Q.
(i)若點M在直線AC下方,且為平移前(1)中的拋物線上的點,當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時,求出所有符合條件的點M的坐標;
(ii)取BC的中點N,連接NP,BQ.試探究是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2+2x﹣1(2)i:M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+,﹣2+),M4(1﹣,﹣2﹣);ii:
【解析】
試題分析:(1)先求出點B的坐標,然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式;
(2)i)首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度,作為后續(xù)計算的基礎(chǔ).
若△MPQ為等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:
①當PQ為直角邊時:點M到PQ的距離為.此時,將直線AC向右平移4個單位后所得直線(y=x﹣5)與拋物線的交點,即為所求之M點;
②當PQ為斜邊時:點M到PQ的距離為.此時,將直線AC向右平移2個單位后所得直線(y=x﹣3)與拋物線的交點,即為所求之M點.
ii)由(i)可知,PQ=為定值,因此當NP+BQ取最小值時,有最大值.
如答圖2所示,作點B關(guān)于直線AC的對稱點B′,由分析可知,當B′、Q、F(AB中點)三點共線時,NP+BQ最小,最小值為線段B′F的長度.
試題解析:(1)∵等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為(0,﹣1),C的坐標為(4,3)
∴點B的坐標為(4,﹣1).
∵拋物線過A(0,﹣1),B(4,﹣1)兩點,
∴,解得:b=2,c=﹣1,
∴拋物線的函數(shù)表達式為:y=x2+2x﹣1.
(2)方法一:
i)∵A(0,﹣1),C(4,3),
∴直線AC的解析式為:y=x﹣1.
設(shè)平移前拋物線的頂點為P0,則由(1)可得P0的坐標為(2,1),且P0在直線AC上.
∵點P在直線AC上滑動,∴可設(shè)P的坐標為(m,m﹣1),
則平移后拋物線的函數(shù)表達式為:y=(x﹣m)2+m﹣1.
解方程組:,
解得,
∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3).
過點P作PE∥x軸,過點Q作QF∥y軸,則
PE=m﹣(m﹣2)=2,QF=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2.
∴PQ==AP0.
若以M、P、Q三點為頂點的等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:
①當PQ為直角邊時:點M到PQ的距離為(即為PQ的長).
由A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知,
△ABP0為等腰直角三角形,且BP0⊥AC,BP0=.
如答圖1,過點B作直線l1∥AC,交拋物線y=x2+2x﹣1于點M,則M為符合條件的點.
∴可設(shè)直線l1的解析式為:y=x+b1,
∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得b1=﹣5,
∴直線l1的解析式為:y=x﹣5.
解方程組,得:,
∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7).
②當PQ為斜邊時:MP=MQ=2,可求得點M到PQ的距離為.
如答圖2,取AB的中點F,則點F的坐標為(2,﹣1).
由A(0,﹣1),F(xiàn)(2,﹣1),P0(2,1)可知:
△AFP0為等腰直角三角形,且點F到直線AC的距離為.
過點F作直線l2∥AC,交拋物線y=x2+2x﹣1于點M,則M為符合條件的點.
∴可設(shè)直線l2的解析式為:y=x+b2,
∵F(2,﹣1),∴﹣1=2+b2,解得b2=﹣3,
∴直線l2的解析式為:y=x﹣3.
解方程組,得:,
∴M3(1+,﹣2+),M4(1﹣,﹣2﹣).
綜上所述,所有符合條件的點M的坐標為:
M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+,﹣2+),M4(1﹣,﹣2﹣).
方法二:
∵A(0,1),C(4,3),
∴lAC:y=x﹣1,
∵拋物線頂點P在直線AC上,設(shè)P(t,t﹣1),
∴拋物線表達式:,
∴lAC與拋物線的交點Q(t﹣2,t﹣3),
∵一M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形,P(t,t﹣1),
①當M為直角頂點時,M(t,t﹣3),,
∴t=1±,
∴M1(1+,﹣2),M2(1﹣,﹣2﹣),
②當Q為直角頂點時,點M可視為點P繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°而成,
將點Q(t﹣2,t﹣3)平移至原點Q′(0,0),則點P平移后P′(2,2),
將點P′繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,則點M′(2,﹣2),
將Q′(0,0)平移至點Q(t﹣2,t﹣3),則點M′平移后即為點M(t,t﹣5),
∴,
∴t1=4,t2=﹣2,
∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),
③當P為直角頂點時,同理可得M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),
綜上所述,所有符合條件的點M的坐標為:
M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+,﹣2+),M4(1﹣,﹣2﹣).
(ii)存在最大值.理由如下:
由(i)知PQ=為定值,則當NP+BQ取最小值時,有最大值.
如答圖2,取點B關(guān)于AC的對稱點B′,易得點B′的坐標為(0,3),BQ=B′Q.
連接QF,F(xiàn)N,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,
∴四邊形PQFN為平行四邊形.
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=.
∴當B′、Q、F三點共線時,NP+BQ最小,最小值為.
∴的最大值為=.
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