Question

已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連結(jié)DF、CF.

（1）如圖1， 當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不用證明）；

（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；

（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，若AD=1，AC=，求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）.

Answer 1

（1）相等和垂直；（2）成立，理由見試題解析；（3）．

【解析】（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，∴DF=BE，CF=BE，∴DF=CF．

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF，

∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF，同理得：∠CFE=2∠CBF，

∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF=CF，且DF⊥CF．

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．

證明：如圖，此時(shí)點(diǎn)D落在AC上，延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G．

∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．

∵F為BE中點(diǎn)，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．

∵AD=DE，∴AD=GB，∵AC=BC，∴AC﹣AD=BC﹣GB，∴DC=GC．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．

（3）延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°，

∵由旋轉(zhuǎn)可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF．

∵F是BE的中點(diǎn)，∴EF=BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED=HB，

∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：AB=4，

∵AD=1，∴ED=BH=1，∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得：DH=，

∴DF=，∴CF=，∴線段CF的長(zhǎng)為．