Question

【題目】已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn),∠EDF=90°,△EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC,CB(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)E,F.當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于點(diǎn)E時(shí)(如圖①),易證S△DEF+S△CEF=S△ABC.

當(dāng)∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí),在圖②和圖③這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明.

Answer 1

【答案】在題中圖②的情況下成立.證明見解析；在題中圖③情況下不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC的關(guān)系是S△DEF-S△CEF=S△ABC.

【解析】試題分析：

（1）如圖，在圖②中過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，證△DME≌△DNF即可知在圖②中，圖①中的結(jié)論仍然成立；

（2）如圖，在圖③中，連接CD，證△DCE≌△DBF即可得到S△DEF-S△CEF=S△ABC，由此可知圖③中，圖①中的結(jié)論不在成立，新的關(guān)系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC；

試題解析：

（1）在圖②中，S△DEF+S△CEF=S△ABC.這一結(jié)論仍然成立，理由如下：

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，連接CD，

∴∠DME=∠DNF=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠MDN=360°-90°-90°-90°=90°，

又∵∠EDF=90°，

∴∠MDE+∠EDN=∠EDN+∠NDF=90°，

∴∠MDE=∠NDF，

∵△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AC=BC，

∴CD=AD=BD，∠ADC=∠BDC=90°，

∵DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，

∴DM=AC，DN=BC，

∴DM=DN，

∴△DME≌△DNF，

∴S四邊形DMCN=S四邊形DECF=S△DEF+S△CEF，

∵由①中結(jié)論可知，S△DEF+S△CEF=S△ABC，

∴在圖②中，①中結(jié)論仍然成立；

（2）在圖③中，①中結(jié)論不在成立，此時(shí)S△DEF-S△CEF=S△ABC，理由如下：

如圖③，連接CD，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，AC=BC，

∴CD=BD，∠CDB=90°，∠ACD=∠ABC=45°，

∵∠EDF=90°，

∴∠CDE+∠EDB=∠EDB+∠BDF，

∴∠CDE=∠BDF，

∴△DCE≌△DBF，

∴S△DEF=S△DBF+S四邊形DBFE

=S△DEC+S四邊形DBFE

=S五邊形DBFEC

=S△CEF+S△DBC

=S△CEF+S△DBC

=S△CEF+S△ABC,

∴S△DEF-S△CEF=S△ABC,

∴圖③中，圖①中的結(jié)論不在成立，新的結(jié)論是：S△DEF-S△CEF=S△ABC.