Question

10．（列方程（組）及不等式解應用題）
春節(jié)期間，某商場計劃購進甲、乙兩種商品，已知購進甲商品2件和乙商品3件共需270元；購進甲商品3件和乙商品2件共需230元．
（1）求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元？
（2）商場決定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，為滿足市場需求，需購進甲、乙兩種商品共100件，且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍，請你求出獲利最大的進貨方案，并確定最大利潤．

Answer 1

分析 （1）設甲種商品每件的進價為x元，乙種商品每件的進價為y元，根據“購進甲商品2件和乙商品3件共需270元；購進甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出關于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出兩種商品的單價；
（2）設該商場購進甲種商品m件，則購進乙種商品（100-m）件，根據“甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍”可列出關于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范圍，再設賣完甲、乙兩種商品商場的利潤為w，根據“總利潤=甲商品單個利潤×數(shù)量+乙商品單個利潤×數(shù)量”即可得出w關于m的一次函數(shù)關系上，根據一次函數(shù)的性質結合m的取值范圍即可解決最值問題．

解答 解：（1）設甲種商品每件的進價為x元，乙種商品每件的進價為y元，
依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=270}\\{3x+2y=230}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=30}\\{y=70}\end{array}\right.$，
答：甲種商品每件的進價為30元，乙種商品每件的進價為70元．
（2）設該商場購進甲種商品m件，則購進乙種商品（100-m）件，
由已知得：m≥4（100-m），
解得：m≥80．
設賣完甲、乙兩種商品商場的利潤為w，
則w=（40-30）m+（90-70）（100-m）=-10m+2000，
∴當m=80時，w取最大值，最大利潤為1200元．
故該商場獲利最大的進貨方案為甲商品購進80件、乙商品購進20件，最大利潤為1200元．

點評 本題考查了二元一次方程組的應用、一次函數(shù)的應用以及解一元一次不等式，解題的關鍵是：（1）根據數(shù)量關系列出關于x、y的二元一次方程組；（2）根據數(shù)量關系找出w關于m的函數(shù)關系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據數(shù)量關系列出方程（方程組、不等式或函數(shù)關系式）是關鍵．