Question

【題目】已知：如圖，在中，是AC中點，BE平分交AC于點E，點O是AB上一點，過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點，則下面結論正確的有填序號 ______（1）與相切；（2）；（3）的直徑等于8；（4）AE

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）正確．欲證明AC是切線，只要證明OE⊥AC，只要證明OE∥BD即可．

（2）正確．根據等弧所對的弦相等證明即可．

（3）錯誤．在Rt△BCD中，由，求出BC=BA=10，CD=AD=8，由EM⊥BF，ED⊥BD，∠EBM=∠EBD，推出EM=ED，設EM=ED=x，在Rt△AEM中，，列出方程求出x，再利用相似三角形的性質求出FM即可解決問題．

（4）錯誤．假設成立，推出矛盾即可．

解：如圖連接EO，EF，作EM⊥AB于M．

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∵BE平分∠ABD，

∴∠ABE=∠EBD=∠OEB

∴OE//BD

∵AD=CD，BA=BC,

∴BD⊥AC

∴OE⊥AC

又∵OE是的半徑

∴AC是⊙O的切線，故（1）正確．

∵∠EBF=∠EBG，

∴弧EF=弧EG．

∴EF= EG，故（2）正確．

在Rt△BCD中， BD=6，sinC=

∴BC=BA=10，CD=AD=8，

∵EM⊥BF，ED⊥BD，∠EBM=∠EBD，

∴EM=ED，設EM=ED=x，

在Rt△AEM中，

∴

∴x=3，

∵∠EFM+∠FEM=90°，∠FEM+∠BEM=90°，

∴∠EFM=∠BEM，

∵∠EMF=∠EMB，

∴△EMF∽△BME，

∴

∴

∴

∴BF=FM+BM=，

∴的直徑等于，故（3）錯誤，

設

即

∵∠A=∠A，

∴△ABE∽△ACB，

∴∠C=∠ABE

∵∠CBD=2∠ABE

∴∠CBD=2∠C

∵∠C+∠CBD=90°

∴∠C=30°

∵

∴

顯然不符合題意，故（4）錯誤

故答案為（1）（2）