Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(-2，-1)，且與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線AC于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

（2）當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）在問題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A，P，E，F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡單說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q(-2，-1)，  

∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，

將C(0，3)代入上式，得，

∴，即．

（2）由得，，

∴，…

如圖:

  

①當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A作直線AC的垂線交拋物線于點(diǎn)，

∵，C(0，3)，

∴直線AC的表達(dá)式為y=x+3．

∵⊥AC，點(diǎn)在直線上，

∴直線A的表達(dá)式為．  

由得，或（舍去），

∴（即為點(diǎn)Q）．

②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，⊥．

∵∥y軸，

∴⊥y軸，

∴點(diǎn)與點(diǎn)B重合，即．

③當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，不符合題意．

綜上得，點(diǎn)P坐標(biāo)為或．

（3）存在，

點(diǎn)F的坐標(biāo)為或．