Question

10．反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4），且與直線y=-x+b（b≠0）在第二、四象限分別相交于P、Q兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，若S_△ODQ=S_△OCD，實(shí)數(shù)b的值為-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 要求實(shí)數(shù)b的值，根據(jù)題意可知，b存在兩種情況，分別畫出相應(yīng)的圖形，然后進(jìn)行推導(dǎo)，即可得到b的值，本題得以解決．

解答 解：當(dāng)b＜0時(shí)，作QE⊥y軸于點(diǎn)E，連接OQ，如右圖1所示，
∵直線y=-x+b（b≠0），與x軸、y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=b；當(dāng)y=0時(shí)，x=b；
即點(diǎn)C的坐標(biāo)是（b，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，b），
∴OC=OD=-b，
∵S_△ODQ=S_△OCD，
∴$\frac{OC•OD}{2}=\frac{OD•QE}{2}$，
∴OC=QE，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-b，2b），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4），
∴$4=\frac{k}{-1}$，得k=-4，
∴$y=\frac{-4}{x}$，
又∵點(diǎn)Q（-b，2b）在$y=\frac{-4}{x}$上，
∴$2b=\frac{-4}{-b}$，
解得，b=-$\sqrt{2}$或b=$\sqrt{2}$（舍去）；
當(dāng)b＞0時(shí)，如右圖2所示，
此時(shí)△ODQ與△OCD的面積不相等，故不符合題意；
故答案為：$-\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．