Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C₁：y=x²+bx+c經(jīng)過點A（2，-3），且與x軸的一個交點為B（3，0）．
（1）求拋物線C₁的表達式；
（2）D是拋物線C₁與x軸的另一個交點，點E的坐標(biāo)為（m，0），其中m＞0，△ADE的面積為$\frac{21}{4}$．
①求m的值；
②將拋物線C₁向上平移n個單位，得到拋物線C₂．若當(dāng)0≤x≤m時，拋物線C₂與x軸只有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A點和B點坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c得關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可；
（2）①通過解方程x²-2x-3=0可得D點坐標(biāo)，然后根據(jù)面積公式得到$\frac{1}{2}$×3×（m+1）=$\frac{21}{4}$，再解關(guān)于m的方程即可；
②利用拋物線的平移變換，可設(shè)拋物線C₂的解析式為y=（x-1）²-4+n，討論：分別求出拋物線C₂過點E和原點時對應(yīng)的n的值，并且畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象可確定n的范圍；當(dāng)拋物線C₂的頂點在x軸上，易得n=4，此時頂點滿足條件，然后綜合兩種情況即可得到n的取值范圍．

解答 解：（1）把A（2，-3）、B（3，0）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=-3}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）①當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則D（-1，0），
∵△ADE的面積為$\frac{21}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×3×（m+1）=$\frac{21}{4}$，
∴m=$\frac{5}{2}$；
②∵拋物線C₁的解析式為y=（x-1）²-4，
∴拋物線C₂的解析式為y=（x-1）²-4+n，
當(dāng)拋物線C₂經(jīng)過點E（$\frac{5}{2}$，0）時，（$\frac{5}{2}$-1）²-4+n=0，解得n=$\frac{7}{4}$，
當(dāng)拋物線C₂經(jīng)過點（0，0）時，（0-1）²-4+n=0，解得n=3，
∵當(dāng)0≤x≤$\frac{5}{2}$時，拋物線C₂與x軸只有一個公共點，
∴由圖象可得$\frac{7}{4}$≤n＜3時，滿足條件；
當(dāng)拋物線C₂的頂點在x軸上，則n=4，此時頂點坐標(biāo)為（1，4），滿足條件，
綜上所述，n的取值范圍為n=4或$\frac{7}{4}$≤n＜3．

點評 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)化為解關(guān)于x的一元二次方程．對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決（2）小題的關(guān)鍵．