【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx﹣與x軸交于點A(1,0)和點B(﹣3,0).繞點A旋轉(zhuǎn)的直線l:y=kx+b1交拋物線于另一點D,交y軸于點C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)點D在第二象限且滿足CD=5AC時,求直線l的解析式;
(3)在(2)的條件下,點E為直線l下方拋物線上的一點,直接寫出△ACE面積的最大值;
(4)如圖2,在拋物線的對稱軸上有一點P,其縱坐標(biāo)為4,點Q在拋物線上,當(dāng)直線l與y軸的交點C位于y軸負(fù)半軸時,是否存在以點A,D,P,Q為頂點的平行四邊形?若存在,請直接寫出點D的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2+x﹣;(2)y=﹣x+1;(3)當(dāng)x=﹣2時,最大值為;(4)存在,點D的橫坐標(biāo)為﹣3或或﹣.
【解析】
(1)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=a(x+3)(x﹣1)=ax2+2ax﹣3a,即可求解;
(2)OC∥DF,則 即可求解;
(3)由S△ACE=S△AME﹣S△CME即可求解;
(4)分當(dāng)AP為平行四邊形的一條邊、對角線兩種情況,分別求解即可.
(1)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=a(x+3)(x﹣1)=ax2+2ax﹣3a,
即: 解得:
故函數(shù)的表達(dá)式為: ①;
(2)過點D作DF⊥x軸交于點F,過點E作y軸的平行線交直線AD于點M,
∵OC∥DF,∴OF=5OA=5,
故點D的坐標(biāo)為(﹣5,6),
將點A、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=mx+n得:,解得:
即直線AD的表達(dá)式為:y=﹣x+1,
(3)設(shè)點E坐標(biāo)為 則點M坐標(biāo)為
則
∵故S△ACE有最大值,
當(dāng)x=﹣2時,最大值為;
(4)存在,理由:
①當(dāng)AP為平行四邊形的一條邊時,如下圖,
設(shè)點D的坐標(biāo)為
將點A向左平移2個單位、向上平移4個單位到達(dá)點P的位置,
同樣把點D左平移2個單位、向上平移4個單位到達(dá)點Q的位置,
則點Q的坐標(biāo)為
將點Q的坐標(biāo)代入①式并解得:
②當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時,如下圖,
設(shè)點Q坐標(biāo)為點D的坐標(biāo)為(m,n),
AP中點的坐標(biāo)為(0,2),該點也是DQ的中點,
則: 即:
將點D坐標(biāo)代入①式并解得:
故點D的橫坐標(biāo)為:或或.
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【題目】如圖1所示,將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2,寬為1的矩形CEFD拼在一起,構(gòu)成一個大的矩形ABEF,現(xiàn)將小矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)當(dāng)點D′恰好落在EF邊上時,求旋轉(zhuǎn)角α的值;
(2)如圖2,G為BC中點,且0°<α<90°,求證:GD′=E′D.
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【題目】對于某一函數(shù)給出如下定義:若存在實數(shù)p,當(dāng)其自變量的值為p時,其函數(shù)值等于p,則稱p為這個函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時,該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度.特別地,當(dāng)函數(shù)只有一個不變值時,其不變長度q為零.例如:下圖中的函數(shù)有0,1兩個不變值,其不變長度q等于1.
(1)分別判斷函數(shù)y=x-1,y=x-1,y=x2有沒有不變值?如果有,直接寫出其不變長度;
(2)函數(shù)y=2x2-bx.
①若其不變長度為零,求b的值;
②若1≤b≤3,求其不變長度q的取值范圍;
(3) 記函數(shù)y=x2-2x(x≥m)的圖象為G1,將G1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2,函數(shù)G的圖象由G1和G2兩部分組成,若其不變長度q滿足0≤q≤3,則m的取值范圍為 .
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為1厘米的⊙O,若∠BAD=90°,BC=a厘米,CD=b厘米,則下列結(jié)論正確的有( )
①sin∠BAC=a,②cos∠BAC=b,③tan∠BAC=.
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
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【題目】如圖,拋物線y=﹣(x+1)(x﹣3)與x軸分別交于點A、B(點A在B的右側(cè)),與y軸交于點C,⊙P是△ABC的外接圓.
(1)直接寫出點A、B、C的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸;
(2)求⊙P的半徑;
(3)點D在拋物線的對稱軸上,且∠BDC>90°,求點D縱坐標(biāo)的取值范圍;
(4)E是線段CO上的一個動點,將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得線段AF,求線段OF的最小值.
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【題目】如圖,在四邊形中,,,,.點在的邊上或內(nèi)部運動,過點分別向邊、所在直線作垂線,交射線于點,交邊于點.
(1)求邊的長.
(2)求線段的取值范圍.
(3)當(dāng)點在的邊上運動時,若,直接寫出線段的長.
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【題目】若兩個不重合的二次函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱,則稱這兩個二次函數(shù)為“關(guān)于軸對稱的二次函數(shù)”.
(1)請寫出兩個“關(guān)于軸對稱的二次函數(shù)”;
(2)已知兩個二次函數(shù)和是“關(guān)于軸對稱的二次函數(shù)”,求函數(shù)的頂點坐標(biāo)(用含的式子表示).
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【題目】如圖,在樓房AB和塔CD之間有一棵樹EF,從樓頂A處經(jīng)過樹頂E點恰好看到塔的底部D點,且俯角α為45°,從樓底B點1米的P點處經(jīng)過樹頂E點恰好看到塔的頂部C點,且仰角β為30°.已知樹高EF=6米,求塔CD的高度(結(jié)果保留根號).
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【題目】對于平面內(nèi)的⊙C和⊙C外一點Q,給出如下定義:若過點Q的直線與⊙C存在公共點,記為點A,B,設(shè),則稱點A(或點B)是⊙C的“K相關(guān)依附點”,特別地,當(dāng)點A和點B重合時,規(guī)定AQ=BQ,(或).
已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中,Q(-1,0),C(1,0),⊙C的半徑為r.
(1)如圖1,當(dāng)時,
①若A1(0,1)是⊙C的“k相關(guān)依附點”,求k的值.
②A2(1+,0)是否為⊙C的“2相關(guān)依附點”.
(2)若⊙C上存在“k相關(guān)依附點”點M,
①當(dāng)r=1,直線QM與⊙C相切時,求k的值.
②當(dāng)時,求r的取值范圍.
(3)若存在r的值使得直線與⊙C有公共點,且公共點時⊙C的“相關(guān)依附點”,直接寫出b的取值范圍.
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