Question

【題目】已知，點M是二次函數(shù)（a＞0）圖象上的一點，點F的坐標為（0，），直角坐標系中的坐標原點O與點M，F(xiàn)在同一個圓上，圓心Q的縱坐標為．

（1）求a的值；

（2）當O，Q，M三點在同一條直線上時，求點M和點Q的坐標；

（3）當點M在第一象限時，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，求證：MF=MN+OF．

Answer 1

【答案】（1）a=1；（2）M1（，），Q1（，）或M2（﹣，），Q2（﹣，）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)Q（m，），F(xiàn)（0，），根據(jù)QO=QF列出方程即可解決問題．

（2）設(shè)M（t，），Q（m，），根據(jù)KOM=KOQ，求出t、m的關(guān)系，根據(jù)QO=QM列出方程即可解決問題．

（3）設(shè)M（n，）（n＞0），則N（n，0），F(xiàn)（0，），利用勾股定理求出MF即可解決問題．

試題解析：（1）∵圓心O的縱坐標為，∴設(shè)Q（m，），F(xiàn)（0，），∵QO=QF，∴，∴a=1，∴拋物線為．

（2）∵M在拋物線上，設(shè)M（t，），Q（m，），∵O、Q、M在同一直線上，∴KOM=KOQ，∴，∴，∵QO=QM，∴，整理得到：，∴，∴，∴，，當時，，當時，，∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．

（3）設(shè)M（n，）（n＞0），∴N（n，0），F(xiàn)（0，），∴MF===，MN+OF=，∴MF=MN+OF．