【題目】綜合題【再現(xiàn)】如圖①,在△ABC中,點D,E分別是AB,AC的中點,可以得到:DE∥BC,且DE= BC.(不需要證明)

(1)【探究】如圖②,在四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,判斷四邊形EFGH的形狀,并加以證明.

(2)【應(yīng)用】在(1)【探究】的條件下,四邊形ABCD中,滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形?你添加的條件是: . (只添加一個條件)
(3)如圖③,在四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,對角線AC,BD相交于點O.若AO=OC,四邊形ABCD面積為5,則陰影部分圖形的面積和為

【答案】
(1)解:【探究】平行四邊形.

理由:如圖1,連接AC,

∵E是AB的中點,F(xiàn)是BC的中點,

∴EF∥AC,EF= AC,

同理HG∥AC,HG= AC,

綜上可得:EF∥HG,EF=HG,

故四邊形EFGH是平行四邊形.


(2)AC=BD
(3)
【解析】

【應(yīng)用】(2)添加AC=BD,

理由:連接AC,BD,同(1)知,EF= AC,

同【探究】的方法得,F(xiàn)G= BD,

∵AC=BD,

∴EF=FG,

∵四邊形EFGH是平行四邊形,

EFGH是菱形;

所以答案是AC=BD;(3)如圖2,由【探究】得,四邊形EFGH是平行四邊形,

∵F,G是BC,CD的中點,

∴FG∥BD,F(xiàn)G= BD,

∴△CFG∽△CBD,

∴SBCD=4SCFG,

同理:SABD=4SAEH

∵四邊形ABCD面積為5,

∴SBCD+SABD=5,

∴SCFG+SAEH= ,

同理:SDHG+SBEF=

∴S四邊形EFGH=S四邊形ABCD﹣(SCFG+SAEH+SDHG+SBEF)=5﹣ = ,

設(shè)AC與FG,EH相交于M,N,EF與BD相交于P,

∵FG∥BD,F(xiàn)G= BD,

∴CM=OM= OC,

同理:AN=ON= OA,

∵OA=OC,

∴OM=ON,

易知,四邊形ENOP,F(xiàn)MOP是平行四邊形,

∴S陰影= S四邊形EFGH= ,

所以答案是

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

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