Question

13．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A （-1，a），過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，△AOB的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求a、k的值；
（2）若一次函數(shù)y=mx+n圖象經(jīng)過點A和反比例函數(shù)圖象上另一點C （t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），且與x軸交于M點，求AM的值；
（3）在（2）的條件下，如果以線段AM為一邊作等邊△AMN，頂點N在一次數(shù)函數(shù)y=bx上，則b=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A的坐標(biāo)以及三角形的面積公式即可求出a值，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出k的值；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式可求出點C的坐標(biāo)，由點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AM的解析式，令線AM的解析式中y=0求出x值，即可得出點M的坐標(biāo)，再利用勾股定理即可求出線段AM的長度；
（3）設(shè)點N的坐標(biāo)為（m，n），由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合兩點間的距離公式即可得出關(guān)于m、n的二元二次方程組，解方程組即可得出n與m之間的關(guān)系，由此即可得出b值．

解答 解：（1）∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×1×a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=$\sqrt{3}$．
∴點A（-1，$\sqrt{3}$）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A （-1，$\sqrt{3}$），
∴k=-$\sqrt{3}$．
（2）∵C （t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）在反比例函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=-$\sqrt{3}$，解得：t=3，
∴C（3，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
將A（-1，$\sqrt{3}$）、C（3，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）代入y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=-m+n}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}=3m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
令y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$中y=0，則x=2，
∴M（2，0）．
在Rt△ABM中，AB=$\sqrt{3}$，BM=2-（-1）=3，
∴AM=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
（3）設(shè)點N的坐標(biāo)為（m，n），
∵△AMN為等邊三角形，且AM=2$\sqrt{3}$，A（-1，$\sqrt{3}$），M（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{AN=\sqrt{（m+1）^{2}+（n-\sqrt{3}）^{2}}=2\sqrt{3}}\\{MN=\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：n=$\sqrt{3}$m．
∵頂點N（m，n）在一次數(shù)函數(shù)y=bx上，
∴b=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形的面積公式、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、勾股定理以及解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點A的坐標(biāo)；（2）求出點M的坐標(biāo)；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出關(guān)于m、n的二元二次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)利用兩點間的距離公式找出點的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．