Question

5．已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+2=0（k≠0）．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程兩個(gè)根均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義得k≠0，再計(jì)算判別式得到△=（2k-1）²，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即k的取值得到△≥0，則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）根據(jù)因式分解法求出方程的根，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且k為正整數(shù)，求出k的值．

解答 解：（1）∵△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²，1
∵（2k-1）²≥0，
∴△≥0．
∵k≠0，
∴原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）kx²+（2k+1）x+2=0，
（x+2）（kx+1）=0，
解方程得x₁=-2，x₂=$-\frac{1}{k}$，
∵方程有兩個(gè)整數(shù)根，
∴k=±1，
∵k為正整數(shù)，
∴k=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根的判別式的知識(shí)，熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵，此題難度不大．