Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，圖象經(jīng)過B（﹣3，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A．

（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使△ACM周長(zhǎng)最短，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出使△BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）時(shí)，△ACM周長(zhǎng)最短；（3）使△BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．

【解析】

（1）由拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)B的坐標(biāo)可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接BC，交直線x=-1于點(diǎn)M，此時(shí)△ACM周長(zhǎng)最短，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，m），結(jié)合點(diǎn)B，C的坐標(biāo)可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP=90°，∠CBP=90°，∠BPC=90°三種情況考慮，①當(dāng)∠BCP=90°時(shí)，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可得出m的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)∠CBP=90°時(shí)，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可得出m的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；③當(dāng)∠BPC=90°時(shí)，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之可得出m的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜上，此題得解．

（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

將A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，

得：，

解得：，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）連接BC，交直線x＝﹣1于點(diǎn)M，如圖1所示．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，

∴AM＝BM．

∵點(diǎn)B，C，M三點(diǎn)共線，

∴此時(shí)AM+CM取最小值，最小值為BC．

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+d（k≠0），

將B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，

得：，

解得：，

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+3．

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝x+3＝2，

∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）時(shí)，△ACM周長(zhǎng)最短．

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，m），

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，

PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，

BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．

分三種情況考慮（如圖2）：

①當(dāng)∠BCP＝90°時(shí)，BC2+PC2＝PB2，

∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，

解得：m＝4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）；

②當(dāng)∠CBP＝90°時(shí)，BC2+PB2＝PC2，

∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，

解得：m＝﹣2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）；

③當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，PB2+PC2＝BC2，

∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，

整理得：m2﹣3m﹣2＝0，

解得：m1＝，m2＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，）．

綜上所述：使△BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．