【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,圖象經(jīng)過B(﹣3,0)、C(0,3)兩點(diǎn),且與x軸交于點(diǎn)A.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的表達(dá)式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使△ACM周長(zhǎng)最短,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直接寫出使△BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,2)時(shí),△ACM周長(zhǎng)最短;(3)使△BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2),(﹣1,),(﹣1,)或(﹣1,4).
【解析】
(1)由拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)B的坐標(biāo)可求出點(diǎn)A的坐標(biāo),由點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接BC,交直線x=-1于點(diǎn)M,此時(shí)△ACM周長(zhǎng)最短,由點(diǎn)B,C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式,再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,m),結(jié)合點(diǎn)B,C的坐標(biāo)可得出PB2,PC2,BC2的值,分∠BCP=90°,∠CBP=90°,∠BPC=90°三種情況考慮,①當(dāng)∠BCP=90°時(shí),利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之可得出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)∠CBP=90°時(shí),利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之可得出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo);③當(dāng)∠BPC=90°時(shí),利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之可得出m的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).綜上,此題得解.
(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3,0),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).
將A(1,0),B(﹣3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,
得:,
解得:,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣2x+3.
(2)連接BC,交直線x=﹣1于點(diǎn)M,如圖1所示.
∵點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱,
∴AM=BM.
∵點(diǎn)B,C,M三點(diǎn)共線,
∴此時(shí)AM+CM取最小值,最小值為BC.
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+d(k≠0),
將B(﹣3,0),C(0,3)代入y=kx+d,
得:,
解得:,
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3.
當(dāng)x=﹣1時(shí),y=x+3=2,
∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,2)時(shí),△ACM周長(zhǎng)最短.
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,m),
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),
∴PB2=[﹣3﹣(﹣1)]2+(0﹣m)2=m2+4,
PC2=[0﹣(﹣1)]2+(3﹣m)2=m2﹣6m+10,
BC2=[0﹣(﹣3)]2+(3﹣0)2=18.
分三種情況考慮(如圖2):
①當(dāng)∠BCP=90°時(shí),BC2+PC2=PB2,
∴18+m2﹣6m+10=m2+4,
解得:m=4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,4);
②當(dāng)∠CBP=90°時(shí),BC2+PB2=PC2,
∴18+m2+4=m2﹣6m+10,
解得:m=﹣2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2);
③當(dāng)∠BPC=90°時(shí),PB2+PC2=BC2,
∴m2+4+m2﹣6m+10=18,
整理得:m2﹣3m﹣2=0,
解得:m1=,m2=,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣1,).
綜上所述:使△BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2),(﹣1,),(﹣1,)或(﹣1,4).
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2sin30°cos30°與sin60°;
2sin22.5°cos22.5°與sin45°.
(2)用一句話概括上面的關(guān)系.
(3)試一試:你自己任選一個(gè)銳角,用計(jì)算器驗(yàn)證上述結(jié)論是否成立.
(4)如果結(jié)論成立,試用α表示一個(gè)銳角,寫出這個(gè)關(guān)系式.
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(2)如圖2,如果現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體,要求保持俯視圖和左視圖不變,最多可以再添加幾個(gè)小正方體;
(3)若在這個(gè)幾何體的表面噴上黃色的漆(靠地面的一面不噴),有________個(gè)正方體只有一個(gè)面是黃色,有________個(gè)正方體三個(gè)面是黃色.
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