Question

如圖1、2，圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動時，鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切．將這個游戲抽象為數(shù)學(xué)問題，如圖2．已知鐵環(huán)的半徑為5個單位（每個單位為5cm），設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M，鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A，∠MOA=α，且sinα=

3

5

．
（1）求點(diǎn)M離地面AC的高度BM（單位：厘米）；
（2）設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于11個單位，求鐵環(huán)鉤MF的長度（單位：厘
米）．

Answer 1

分析：（1）過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．那么求BM的長就轉(zhuǎn)化為求HA的長，而要求出HA，必須先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα=

MH

OM

=

3

5

，且鐵環(huán)的半徑為5個單位即OM=5，可求得HM的值，從而求得HA的值；
（2）因?yàn)椤螹OH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因?yàn)閟inα=

FN

FM

=

3

5

，所以可得出FN和FM之間的數(shù)量關(guān)系，即FN=

3

5

FM，再根據(jù)MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10個單位．

解答：解：過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，
HM=OM×sinα=3，
所以O(shè)H=4，
MB=HA=5-4=1，
1×5=5cm．
所以鐵環(huán)鉤離地面的高度為5cm；

（2）∵鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴

FN

FM

=sinα=

3

5

，
∴FN=

3

5

FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=11-3=8．
∵FM²=FN²+MN²，
即FM²=（

3

5

FM）²+8²，
解得：FM=10，
10×5=50（cm）．
∴鐵環(huán)鉤的長度FM為50cm．

點(diǎn)評：考查了解直角三角形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，只要把實(shí)際問題抽象到解直角三角形中即可解答．