閱讀探究題:

數(shù)學課上,張老師向大家介紹了等腰三角形的基本知識:有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形,如圖1所示:在△ABC中,若AB=AC,則△ABC為等腰三角形且有∠B=∠C.此時,張老師出示了問題:如圖2,四邊形ABCD是正方形(正方形的四邊相等,四個角都是直角),點E是邊BC的中點.∠AEF=90°,且EF交∠DCG的平分線CF于點F,求證:AE=EF.經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路:在線段AB上取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,在此基礎上,請聰明的同學們作進一步的研究:
(1)求出角∠AME的度數(shù);
(2)你能在小明的思路下證明結(jié)論嗎?
(3)小穎提出:如圖3,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B,C外)的任意一點”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認為小穎的觀點正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由;

解:(1)∵在線段AB上取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,
∴AB-AM=CB-EC,
即:BM=BE,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∴∠AME=135°;

(2)證明:在線段AB上取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,
∵CF平分∠DCG,
∴∠FCG=45°,
∴∠ECF=90°+45°=135°,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=90°,
∴∠FEC+∠AEB=90°,
∵∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠MAE=∠FEC,
在△AME和△ECF中,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;

(3)證明:在線段AB上取AB邊上的點N,使AN=EC,連接NE,
∵點E是邊BC邊上的點.∠AEF=90°,且EF交∠DCG的平分線CF于點F,
∴∠FCG=45°,
∴∠ECF=135°,
∵AB=CB,AN=EC
∴BN=BE,
∴∠BNE=45°,
∴∠ANE=90°+45°=135°,
∴∠ECF=∠ANE=135°,
∵∠FEC+∠AEB=90°,∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠FEC=∠BAE,
在△ANE和△ECF中,
∴△ANE≌△ECF,
∴AE=EF.
分析:(1)運用正方形的性質(zhì),得出BM=BE,即可解決,
(2)運用三角形的全等證明△AME≌△ECF,得出線段相等.
(3)仿照(2)中輔助線的作法,證明△ANE≌△ECF.
點評:此題主要考查了正方形的性質(zhì)與三角形全等的證明,綜合性較強,層層遞進比較典型.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

29、閱讀探究題:數(shù)學課上,張老師向大家介紹了等腰三角形的基本知識:有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形,如圖1所示:在△ABC中,若AB=AC,則△ABC為等腰三角形且有∠B=∠C.此時,張老師出示了問題:如圖2,四邊形ABCD是正方形(正方形的四邊相等,四個角都是直角),點E是邊BC的中點.∠AEF=90°,且EF交∠DCG的平分線CF于點F,求證:AE=EF.經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路:在線段AB上取AB的中點M,連接ME,則AM=EC,在此基礎上,請聰明的同學們作進一步的研究:
(1)求出角∠AME的度數(shù);
(2)你能在小明的思路下證明結(jié)論嗎?
(3)小穎提出:如圖3,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B,C外)的任意一點”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認為小穎的觀點正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由;

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