Question

9．已知如圖，點A（6，0），點B（0，8），點C在y軸上，將△OAB沿AC對折，使點O落在AB邊上的點D處．
（1）求直線AB的解析式？
（2）求點C的坐標；
（3）在x軸上是否存在點P，使得△PAB為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法直接求出直線AB解析式；
（2）先求出AB，設(shè)出點C的坐標，根據(jù)折疊表示出CD，BD，由勾股定理求出OC即得到點C的坐標；
（3）設(shè)出點P的坐標，按邊分三種情況討論計算即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+8，
∵點A（6，0），在直線AB上，
∴6k+8=0，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+8，
（2）∵點A（6，0），點B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10，
設(shè)點C（0，c），
∴OC=c，
∴BC=8-c，
由折疊得，∠ADC-∠BDC=∠AOB=90°，CD=OC=c，AD=OA=6，
∴BD=AB-AD=4，
在Rt△BCD中，CD²+BD²=BC²，
即：c²+16=（8-c）²，
∴c=3，
∴C（0，3），
（3）∵△PAB為等腰三角形，
設(shè)點P（x，0），
①當BP=BA，即：BP=10，
∵BP=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，
∴64+x²=100，
∴x=6（舍）或x=-6，
∴P（-6，0），
②當AP=AB，即：AP=10，
∵AP=|6-x|，
∴|6-x|=10，
∴x=-4或x=16，
∴P（-4，0）或（16，0），
③當PA=PB時，
∵PB=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，PA=|6-x|，
∴|6-x|=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，
∴x=-$\frac{7}{3}$，
∴P（-$\frac{7}{3}$，0），
即：點P的坐標為（-6，0）、（-4，0）、（16，0）、（-$\frac{7}{3}$，0）．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是求出點C的坐標和分類討論．